Elixír do škol - 4. setkání

Ve čtvrtek 10. 12. 2015 se konalo v učebně fyziky SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské čtvrté setkání projektu Elixír do škol ve školním roce 2015/2016. Projekt zaměřený na zkvalitnění výuky fyziky zejména na základních školách je podporován Nadací Depositum Bonum. Toto setkání bylo věnováno těžišti těles.

V úvodu setkání jsem předal účastníkům dar z Nadace Depositum Bonum - placky, které lze připnout na oděv a šířit tak dále dobré jméno celého projektu. Jak se během tohoto setkání ukázalo několikrát, všichni učitelé mají velmi dobře zmapované reakce našich žáků. O tom svědčí i to, že se během rozdávání placek strhla prudká diskuse o to, jakou barvu placky si kdo vezme. Barvy byly dvě a byly zastoupeny přibližně rovnoměrně, takže výběr nakonec skončil bez hádek a dalších problémů.

Dále jsem účastníky seznámil s další novinkou: možností zapůjčit si volnou vstupenku do jednoho ze science-center po celé republice. Bohužel pro Pražáky je vše trošku z ruky, ale v rámci nějakých výletů, školení, cest za příbuznými a podobně by bylo možné volné vstupenky využít.

Pak už jsme se vrhli do problematiky dnešního tématu.

„Asi všichni víte, jak určit polohu těžiště tělesa ve tvaru tyče,“ říkám před prvním experimentem, kterým chci problematiku těžiště těles otevřít.

Někteří účastníci ukazují pomocí rukou, že skutečně tuto problematiku znají.

„Tak to můžeme vzít rychle,“ usmívám se a rozdávám všem špejle. „Zkusíte si to, vysvětlíme fyzikální princip a půjdeme dále.“ Je mi ovšem jasné, že se u této problematiky chvíli pozdržíme.

Beru do rukou hliníkovou trubku (o průměru přibližně 1 cm) a předvádím, jak určíme polohu těžiště trubky. Položíme jí na prsty obou rukou a ruce začneme přibližovat k sobě. Tyč střídavě po prstech klouže, až se prsty nakonec setkají v jednom bodě. Pokud tyč v tomto bodě podepřeme nebo zavěsíme, je ve stabilní poloze. Našli jsme tedy její těžiště.

Všichni si to sami zkoušejí se špejlí, ačkoliv všichni správně tipovali, že těžiště bude uprostřed.

„Mimochodem, mám teď tu trubku podepřenou v těžišti?“ ptám se a trubku mám položenou na prstě.

„Ne, je podepřená pod těžištěm,“ zní z několika stran správná odpověď.

„A jak takhle metoda funguje? Proč se tyč nebo ve vašem případě špejle střídavě po rukou posouvá?“ ptám se. Na to už jednoznačná odpověď nezazněla, a tak začínám situaci rozkreslovat na tabuli. Schválně zvolím na úvod obrázek, na kterém je zakreslena nesymetrická tyč (resp. trubka), tj. tyč, která je v jedné části zatížena dodatečným přívažkem.

„Když to nakreslíme takhle, tak si snáze uvědomíte, proč tyč střídavě klouže po jednom nebo druhém prstě,“ vysvětluji svůj postup. „Třecí síla působící mezi tyčí a prstem je vyvolána tíhovou silou příslušné části tyče. A velikost této síly ovlivňuje velikost třecí síly; tato tíhová síla je tedy silou normálovou, která vystupuje ve vztahu pro velikost třecí síly.“

Všichni sledují výklad na obrázku a zdá se, že je vše jasné. Proto přistoupíme k druhému experimentu.

„Jak se změní poloha těžiště, jestliže jednu část tyče zatížíme?“ ptám se.

„Těžiště se posune blíže k té zátěži,“ zní správná odpověď.

„Prima, tak si to zkuste,“ vyzývám účastníky a rozdávám jim kousek modelíny. Ke špejli, se kterou experimentovali před pár minutami, je to vhodná zátěž. Sám si beru z kabinetu smeták a předvádím experiment se smetákem.

„To je nefér, ty tam máš to těžiště už označené,“ ozve se Edita Martoníková, která ze druhé lavice smeták viděla detailně. Nechám poznámku bez odezvy, protože vím, co bude následovat za několik okamžiků.

Všichni si zkoušejí najít polohu těžiště na jednom konci kouskem modelíny zatížené špejle. Funguje to dobře - těžiště se skutečně přesunulo blíže k zatíženému konci špejle.

„A teď mám otázku: představte si, že bychom tahle tělesa v těžišti přeřízli. Budou mít vzniklá tělesa stejnou hmotnost?“ ptám se.

Všichni kolem kroutí hlavou, že ne.

„Dobře, tak se o tom přesvědčíme,“ říkám a přitom začínám odšroubovávat dvě části koštěte od sebe.

„Chceš tvrdit, že to máš takhle rozebíratelné?“ nevěří svým očím Edita, která si před chvílí všimla spojení dvou částí koštěte k sobě.

Sahám za dveře pro váhu a postupně na ni pokládám obě části koštěte. Rozdíl hmotností všechny překvapí: část s vlastním smetákem má o 130 gramů větší hmotnost, než zbytek násady. Všem se pomůcka líbí a já jsem rád, že jsem zhruba před rokem přesvědčil svého otce, aby mi jí pomohl vyrobit.

„Takže jsme se znovu přesvědčili o tom, že poloha těžiště v tělese závisí na rozložení hmoty v daném tělese,“ říkám a beru do rukou dvě stejné krabičky od čaje. Postavím je postupně na váhu a ta ukáže v obou případech stejnou hmotnost. Pak přistoupím k okraji lavice a snažím se první krabičku vybalancovat na okraji lavice. Jak všichni očekávají, krabička se začíná z lavice převažovat, přesahuje-li přes ni skoro polovina podstavy krabičky. To nikoho nepřekvapí. Proto beru druhou krabičku a předvádím tentýž experiment. Tentokráte je mimo plochu lavice prokazatelně více než polovina podstavy krabičky a krabička se stále nepřevažuje. Na první pohled nemožný závěr experimentu má jednoduché vysvětlení: zátěž je v krabičce rozložena nerovnoměrně.

„A protože jste to tak pěkně vymysleli,“ usmívám se na účastníky setkání, „mám pro vás dáreček.“ Přitom otvírám větší kartonovou krabici a vyndávám na stůl vždy dvojice krabiček.

„Pro každého jsou zde dvě krabičky - jedna má těžiště nad středem své podstavy, druhá ho má posunuté blíže k jedné z menších stěn krabičky. A přitom obě krabičky mají stejnou hmotnost.“ Účastníci děkují a rozebírají si krabičky.

Chtěl jsem přistoupit k dalšímu bodu svého připraveného programu, ale Edita Martoníková přišla s dotazem, zda znám vážení drobných předmětů (prstýnek, mince, …) pomocí papíru formátu A4. Tuto metodu znám a se žáky jí pravidelně zkoušíme a řešíme, jak funguje.

„A mohli bychom si to projít?“ ptá se Edita. „Narazili jsme nedávno s mými žáky na nějaký problém.“

Začínám tedy rozkreslovat na tabuli princip vážení těles touto metodou a postupně na rady účastníků zakresluji síly působící na tělesa, dopočítáváme hmotnost jednoho listu papíru a navrhujeme postup výpočtu založený na momentové větě. Edita se tváří spokojeně, ale pořád je mírně skeptická.

„Můžeme to improvizací zkusit. Naskládaný papír teď nemám připravený, ale můžeme to zkusit s touhle trubkou,“ a beru do ruky hliníkovou trubku, s níž jsem experimentování začínal, „a třeba s nůžkami.“ Vybral jsem předmět, který ležel na katedře přede mnou a který bylo možné snadno na trubku zavěsit.

Vyvážím nůžky na trubce a za pomocí Edity a Soni Bednářové odměříme vzdálenost nalezeného těžiště od nůžek a vzdálenost nalezeného těžiště od těžiště samotné trubky. Potom ještě určím hmotnost trubky pomocí váhy. Jednoduchým výpočtem dospějeme k hmotnosti nůžek 38 gramů. Ověření hmotnosti nůžek na váze všechny téměř omráčí: váha ukázala 38 gramů.

„Doufám, že to je už jasnější,“ říkám.

„Určitě. Díky moc,“ děkuje Edita.

Z následné diskuse se vyvine další problém: jak vyvažovat tělesa na tyči, která má také svojí hmotnost. Postupně probereme situaci, kdy je hmotnost tyče zanedbatelná vzhledem k hmotnosti vyvažovaných těles. V tom případě se matematický popis velmi zjednoduší a momentová věta má jednoduchý tvar. V případě, že hmotnost tyče není oproti hmotnostem vyvažovaných těles zanedbatelná, použijeme imaginární tyč nulové hmotnosti a v místě těžiště samotné tyče zavěsíme těleso s hmotností stejnou, jako je hmotnost tyče. Matematický popis pomocí momentové věty je v tomto případě složitější.

„Půjde to ovšem spravit,“ říkám, když se dívám na rovnici napsanou na tabuli.

„Vždyť to můžeme počítat k jinému bodu, ne?“ navrhuje Martina Procházková.

„To je právě to, co mě napadlo. Když totiž napíšeme momentovou větu k jednomu z krajních bodů, rovnice se zjednoduší a neznámá bude jen v jednom členu. Ale pro žáky základních škol bude možná těžší přijmout fakt, že počítáme rovnováhu těles k jinému bodu, než je těžiště celé soustavy těles.“

Účastníci s tím souhlasí a chvíli nad tímto problémem ještě diskutujeme.

Pak navrhuji, že bychom si mohli vyrobit několik jednoduchých hraček, které demonstrují princip rovnovážných poloh a polohy těžiště. Účastníci souhlasí. Začneme s ptákem, který balancuje na kruhu. Vystřihování je trošku náročnější, ale postupně ho všichni zvládnou a hračku se podaří nejen vyrobit, ale také i na kruhu vyvážit.

Následuje pták s dlouhými křídly, jemuž se ovšem musí na křídla přilepit hlavička. Po kratší diskusi na téma, zda by to nešlo vystřihnout tak, aby se hračka nemusela lepit, přistoupili všichni na variantu, kterou jsem měl připravenou. Tedy hlavičku museli nalepit.

Než přistoupíme k další vystřihovánce, zavedeme řeč na provazochodce a na způsob, jak se na laně udrží. Pomocí drátu procházejícího korkovou zátkou, do které je zapíchnut špendlík, je možné princip balancování provazochodce jednoduše demonstrovat. A zatímco účastníci stříhají poslední hračku (panáčka, který balancuje na svém nose), připravím další těleso, které drží v rovnovážné poloze: lopatku na smetí.

I kolem panáčka balancujícího na nose proběhne diskuse, zda nos ohýbat nebo ne, v jaké poloze má nakonec balancovat a podobně. Všem ale nakonec hračka funguje dobře.

„Na závěr jsem si nechal těleso poněkud komplikovanější,“ usmívám se a vytahuji papírovou mapu České republiky. „Kdepak má asi těžiště toto těleso?“

Zatímco účastníci tipují místa možného těžiště mapy České republiky, pokouším se mapu vyvážit na špendlíku. To se v rychlosti nedaří, a proto si pokládám mapu na prst, na kterém drží bez problémů.

„Je to sice srabské, ale v tuto chvíli účinné,“ odrazuji případné komentáře.

„Než sázet na nepodložené tipy, zkusíme polohu těžiště najít sami,“ říkám a sedám si k počítači. „Budeme hledat polohu, to znamená zeměpisné souřadnice. Ale musíme mít nějakou váhu, kterou ty souřadnice budeme vlastně průměrovat. A nabízejí se dvě možnosti: počet obyvatel nebo rozloha. Já tu mám připravenu tabulku s počty obyvatel v jednotlivých okresech České republiky. Zeměpisná poloha okresu je sice jakýmsi průměrem z celého okresu, ale pro potřeby této úlohy to bude dostačující.“

Na základě rad účastníků postupně vypočítáme součiny počtu obyvatel v daných okresech a zeměpisné délky (resp. šířky) daného okresu. Poté tyto součiny sečteme a vydělíme počtem obyvatel celé republiky. Získané zeměpisné souřadnice překopírujeme do internetových map a poloha těžiště je nalezená. Tímto způsobem počítané vychází těžiště České republiky do místa, které se nachází přibližně 1 km východně od obce Heřmanice nedaleko Golčova Jeníkova.

„Tuto informaci můžete využít v zeměpisu nebo jí kolegům předat,“ navrhuji další využití této netradiční aktivity. „Můžete příslušné výpočty nechat provádět žáky po domluvě s vyučujícím v hodinách výpočetní techniky. A dovést tuto aktivitu je možné tak, že nasimulujete počet obyvatel na větší mapě pomocí korálků, malých bonbónů a podobně. A pak těžiště najdete vy nebo sami žáci experimentálně.“

Na závěr setkání jsme ještě probrali a zdůvodnili jak experimentálně, tak matematicky, jak závisí na poloze těžiště tělesa stabilita tohoto tělesa na nakloněné rovině v závislosti na úhlu sklonu této roviny. Pro mnohé bylo překvapením, že při zabránění smýkání tělesa po nakloněné rovině směrem dolů se při menším úhlu sklonu nakloněné roviny překlopí to těleso, které má těžiště níže.

Materiály ze setkání:

Pak jsme se rozloučili, popřáli si krásné Vánoce a vše dobré v novém roce a ujistili se, že se opět uvidíme v novém roce.

Průběh setkání je zaznamenán na fotografiích.

Poděkování:

Věra Bdinková a Václav Piskač - za inspiraci;

Jakub Šerých - za ochotu při tisku papírových podkladů.

Autoři fotografií:

Martina Kotibová a Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 13. 12. 2015