Heuréka - 4. seminář (termodynamika a úvod elektrostatiky)

O víkendu 25. - 27. 11. 2016 se konalo v prostorách SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské další setkání projektu Heuréka pro střední školy, který podporuje KDF MFF UK Praha.

Čtvrtý seminář byl na přání účastníků věnován dalším tématům z termodynamiky. V pátek zaplnilo učebnu fyziky 15 účastníků, v sobotu pak dorazilo dalších osm účastnit semináře; bylo tedy 23 účastníků.

1. blok: Krystalická mříž a její poruchy

Krátce před půl osmou se scházíme v učebně fyziky S6 a Rita Chalupníková předvádí na úvod jednoduchý model Stirlingova motoru.

„Když jsme o tom minule mluvili a ukazoval jsi nám ten svůj, tak jsem přinesla model, který jsme vyráběli nedávno na setkání Elixír do škol,“ vysvětluje Rita a uvádí do pohybu model Stirlingova motoru sestavený ze skleněných kuliček ve zkumavce a skleněné injekční stříkačky. „Stavěl to s námi na setkání Zdeněk Hubáček a říkal jako ty, že tam je spousta míst, na kterých se to může zaseknout a přestat fungovat.“

Všichni si fascinovaně motor prohlížíme a kocháme se jeho technickou a estetickou krásou a jednoduchostí.

„Je tvůj,“ usmívá se Rita a jde si sednout na své místo v učebně.

„Vážně? A čím jsem si to zasloužil?“ divím se. Rita se jen usměje. Poděkuji a jsem mírně na rozpacích.

„Začneme domácím úkolem,“ usmívám se a fyzikáři ve třídě se zachovají stejně jako žáci: otáčejí se vyděšeně na sebe se slovy „On byl z minula nějaký úkol?“.

„Úkol vám zadám já teď a kontrola proběhne až v neděli,“ vysvětluji, čímž je uklidňuji. „Vzhledem k tomu, že ze strany MFF UK Praha a Nadace Depositum Bonum není problém v pokračování seminářů i příští kalendářní rok, domluvíme dva jarní termíny.“ Napíšu na tabuli data tří jarních víkendů a účastníci mají vybrat právě dva, které nejvíce vyhovují všem. Poté už přecházíme k fyzice.

„Minule jsme začali pevné látky a probrali jsme rozdíl mezi krystalickými a amorfními látkami,“ připomínám. „Budeme tedy pokračovat dále krystalickou mřížkou.“

Píšu základní fakta na tabuli a ukazuji modely krystalické mřížky prosté, centrálně centrované i plošně centrované. Společně pak diskutujeme, v jaké míře a jaké detaily žákům sdělovat.

„Nic není ideální, ani krystaly ne, a proto si popíšeme některé poruchy krystalické mříže,“ pokračuji dále. Bodové, čárové i objemové poruchy vyjmenuji, stručně nakreslím a upozorním na ty části fyziky, pro které je daný typ poruchy klíčový. U čárových poruch si vypomáhám několika listy papíru, pomocí kterých názorně demonstruji principiální rozdíl mezi hranovou a šroubovou poruchou. Pro některé účastníky je překvapení, že šroubová porucha umožňuje růst krystalů.

Pochopení rozdílů a základních principů iontové, kovalentní a kovové vazby zjednodušuje pracovní list, který účastníkům předkládám. Na něm jsou jednotlivé vazby schematicky zobrazeny. Nejdříve mají účastníci semináře poznat, který obrázek odpovídá které vazbě, potom s využitím těchto obrázků jednotlivé typy vazeb vysvětlujeme.

Pak pokračujeme deformacemi těles. Pružnou a tvárnou deformaci názorně ukazuji s gumou a kusem drátu, potom upozorňuji, že v praxi se často setkáváme i s deformacemi, které jsou na pomezí mezi pružnou a tvárnou: když přestanou působit deformující síly, těleso se nevrací zpět do svého původního tvaru, ale zůstává částečně deformováno.

„Jednotlivé typy deformací máte napsány v tom pracovním listu. Zkuste k nim přiřadit fyzikální děje, které jsou vypsány o pár řádků výše,“ vyzývám účastníky. Postupně pak jednotlivé typy deformace fyzikálně rozebereme a jednotlivé příklady k nim přiřazujeme. Některé z vypsaných fyzikálních dějů lze přiřadit k více deformacím současně.

„Drát kola se deformuje tahem,“ nechtějí věřit někteří. Přikyvuji, že to tak je a snažím je fyzikálně vysvětlit, proč to nemůže být deformace tlakem. „Takže kdybyste chtěli, můžete si vyrobit kolo, kde místo drátů budou řetízky používané na držení špuntu u vany,“ zakončuji s úsměvem tento příklad.

„Super, takže máš domácí úkol do příště,“ ozve se z několika stran učebny současně.

„Nevím, jestli jsou vánoční prázdniny na výrobu takového kola dost dlouhé,“ usmívám se a pokračujeme další deformací.

U deformace krutem vzpomeneme všichni na dětskou, mírně sadistickou hru „ohníček“.

„To ale žáci už neznají,“ konstatuji smutně. „Stejně jako fyzikální test humanitně zaměřených kolegů - to jim vždy musím radit já!“

„Co tím myslíš?“ ptají se účastníci.

„No pružinku z tužky a plochou baterii,“ odpovídám a divím se, že to někteří neznají. Jdu tedy do kabinetu pro baterii a pružinu a experiment ukazuji. Pružina položená na kontakty ploché baterie se během několika sekund ohřeje.

„Už je to i cítit,“ komentuje kdosi průchod elektrického proudu pružinou.

Vysvětlujeme zbývající deformace a pomocí sil pružnosti zavedeme normálové napětí. Tím pro páteční večer končíme, pokračování nás čeká v sobotu.

2. blok: Normálové napětí, Hookeův zákon, křivka deformace

V sobotu se před půl devátou scházíme opět v učebně fyziky a začínáme druhý blok semináře. Jiří Krásný vyrobil před začátkem na tabuli tabulku, do které postupně všichni začali vyplňovat preferované termíny seminářů v novém roce. Mezitím se věnujeme další fázi programu - Hookeovu zákonu a deformační křivce. Na živo předvedu dva experimenty - deformaci gumy a deformaci měděného drátku. Při experimentu měřím sílu, kterou napínám gumu (resp. drát) připevněnou ke hřebíku zatlučeném do mezery mezi stoly katedry, a vzdálenost siloměru od hřebíku. Tedy téměř přesně od hřebíku. K tomu využívám sondy systému Vernier. Obě deformační křivky pak společně rozebíráme, uvědomujeme si, že vykreslujeme do grafu jiné veličiny, než je běžné, a na závěr pak nakreslíme křivku deformace se všemi jejími částmi, které fyzikálně popíšeme.

„U různých materiálů jsou různé části křivky potlačeny nebo zvýrazněny,“ upozorňuji účastníky semináře. Na základě pracovních listů pak komentujeme různé typy materiálů a jejich deformační křivky.

3. blok: Deformace těles, teplotní roztažnost pevných látek, povrchové napětí kapalin

„Můžu předvést dva netradiční způsoby deformace těles, které asi budete znát,“ říkám na úvod dalšího bloku a připravuji první z experimentů. Nafouknutý pouťový balonek zkouším propíchnout tak, aby nepraskl. Znamená to naostřeným drátem od kola píchnout do míst, kde není blána balonku příliš napjatá. Zkouším tedy bod nejvzdálenější od náustku balonku - a nedaří se. Zkouším druhý balonek a zase nic. U třetího balonku začínám vpich vedle náustku; konečně se podařilo. Drát od kola zajel dovnitř a balonek nepraskl. Zevnitř pak propíchnu balonek v místě, kde jsem ho chtěl propíchnout původně a konečně se podařilo. Balonek je na drátu od kola navlečen a nepraská. Sice z něj postupně uniká vzduch, ale nepraskl. Příčinou je právě to, že materiál balonku je v těchto místech méně napnut, a proto se neroztrhl tak, jak se balonky při styku s ostrými předměty běžně trhají (praskají). Experiment se libí, účastníci vymýšlejí jeho varianty, ale ne všichni ho znají.

„Druhý experiment asi také znáte,“ říkám a vyndávám uzavíratelný sáček, do kterého napouštím vodu. Pak ho „zipem“ zavírám a začínám do něj zapichovat ořezané tužky. Sáček nepraská, tužky zajíždějí jako do másla a voda ze sáčku nevytéká.

„Tak to jsme neznali,“ zašumí davem a fotoaparáty iVěcí cvakají naplno.

„Jsem rád, že jsem vás tedy alespoň trošku obohatil,“ usmívám se.

Pokračujeme dvěma jednoduchými experimenty na teplotní roztažnost pevných látek. K prvnímu experimentu je potřeba obyčejné pravítko, které je těsně ukotvené na dřevěném panelu hřebíky. Když pravítko přeliju horkou vodou, vyboulí se nad dřevěný panel.

„Jasný důkaz o tom, že se pravítko prodloužilo vlivem zvýšené teploty,“ uzavírám experiment a účastníci semináře jsou nadšeni jednoduchým a přitom velmi průkazným experimentem. I o tomto experimentu jsem byl přesvědčen, že je notoricky známý. Ale asi nebyl.

Pomůcka ke druhému experimentu je tvořena dvěma tyčkami: na jedné je přivařená kovová obruč, na druhé je zavěšena kulička. Při pokojové teplotě je možné kuličky volně provléknout obručí. Po ohřátí kuličky nad kahanem již kulička obručí neprojde. Tedy další důkaz, že ohřevem se pevné látky prodlužují. V tomto případě se mění objem celé kuličky. Jedná se o tzv. Gravesandův prstenec.

Když fyzikálně vymyslíme vztah pro délkovou teplotní roztažnost a odvodíme vztah pro objemovou teplotní roztažnost (včetně matematického zanedbání některých členů v odvozeném vztahu) a teplotní změnu hustoty, ukážu poslední experiment.

„Na různých stránkách tomu říkají zamilovaná rybička, protože to údajně věští vaše sklony k lásce,“ říkám a ukazuji z jakéhosi plastu vystřiženou rybičku, která se po položení na dlaň ruky začíná kroutit.

„Kde jí můžeme koupit?“ ptají se účastníci semináře okamžitě.

Nabízím dvě internetové adresy, které Václav Pazdera sedící u stolu s tablem ihned kontroluje a opravuje. Postupně vznikne nápad, že si účastníci na stránkách vyberou a udělá se hromadná objednávka. Tak uvidíme, jak to bude dále.

Po popsání praktického použití teplotní roztažnosti, přecházíme ke struktuře a vlastnostem kapalin.

„Na úvod mám jak pro vás, tak pro své žáky vždy připraveno několik experimentů, které ukazují, že na povrchu kapalin existuje vrstva, která se chová divně. A postupně pak začneme odkrývat její tajemství.“

Pak ukazuji několik experimentů:

Zejména poslední experiment má úspěch a účastníci se nemohou vynadívat. Zkoušíme ještě totéž ve vodě, ale dle předpokladů se nedaří. Závěry z experimentů popíšeme teoreticky a dopolední blok končíme. Pak odcházíme na oběd.

4. blok: Povrchová vrstva, kapilární jevy, teplotní roztažnost kapalin

První odpolední blok začínáme hrátkami s mýdlovými blánami:

Všechny experimenty průběžně vysvětlujeme, komentujeme a účastníci občas doplňují své poznatky. Pak přecházíme k měření povrchového napětí, u kterého se shodneme, že vychází velmi nepřesně. Vica Kárászová se podělí o svůj nápad, jak měří povrchové napětí s poměrně velkým úspěchem. Odtrhávací metoda zkombinovaná s principem páky poskytuje žákům prý poměrně přesné hodnoty povrchového napětí vody případně mýdlového roztoku.

Kapilární jevy stručně vysvětlíme, některé z nich ukážeme:

Teplotní dilataci kapalin zakončíme experimentem s Galileovým teploměrem, který se celý tento blok chladil za oknem, aby byl na kuličkách zřetelně vidět pokles teploty, která se měří podle polohy kuliček (s údajem teploty) ve skleněném válci.

5. blok: Změny skupenství - thiosíran sodný

Po přestávce začínáme blok věnovaný skupenským přeměnám. Po stručném úvodu připravuji experiment, který bude probíhat na katedře po celý zbytek tohoto bloku a ještě o další přestávce.

„Záměrně jsem si to nechystal předem, abyste viděli, co kam dávám, jak to ohřívám a podobně,“ oznamuji a chystám experiment s ohřevem krystalů thiosíranu sodného a jeho následným tavením. Tento experiment je zhruba na 40 až 50 minut, pokud se má provést celý, tj. včetně ukázání vlastností podchlazené kapaliny. Proto rozdávám účastníkům semináře pracovní listy, aby během ohřevu mohli pracovat a řešit úlohy.

„Krystalický thiosíran budeme ohřívat ve vodní lázni. Pomalým ohřevem docílíme toho, že bude lépe vidět sedlová část grafu závislosti teploty na čase, během které bude thiosíran tát,“ říkám během ohřevu látky. Průběžně kontrolujeme řešené úlohy a thiosíran mezitím dosahuje teploty tání (přibližně 48 stupňů Celsia); teplotu měříme teploměrem firmy Vernier. Vzniklou kapalinu následně necháváme ohřát na přibližně 60 stupňů Celsia, pak ve spolupráci se Zuzkou Bobkovou se snad azbestovýma rukama odstraňujeme kádinku s vodní lázní a necháváme thiosíran chladnout v okolním vzduchu.

Mezitím připravím a provedu další dva experimenty zaměřené na tání a tuhnutí vody. Prvním experimentem je příprava chladící směsi z ledu a soli. Díky tání ledu voda, která je na skleněné destičce pod plecháčkem s ledem, zmrzne. Důkaz faktu, že tající led odebírá svému okolí teplo (skupenské teplo tání), aby mohl tát.

Druhý experiment spočívá v tání dvou stejných kostek ledu na dvou obrácených plechovkách ponořených částečně do horké vody. Jedna kostka taje prokazatelně rychleji. Po skončení experimentu a tipování možných vysvětlení přikládám k plechovkám magnet. Jedna plechovka je magnetická (je ze železa), druhá je hliníková. Na přítomnost magnetu nereaguje a led na ní roztál rychleji.

„Magnet je zbytečný, je to na plechovkách napsané,“ usmívají se účastnice z první lavice.

„Vím, ale daleko větší sranda je to v obchodech kontrolovat magnetem,“ usmívám se. „Sehnat železnou plechovku není vůbec snadné!“

Mezitím se kapalina thiosíranu sodného ochladila pod teplotu tuhnutí, takže vytvořila podchlazenou kapalinu. Kdybychom počkali, až dosáhne ještě nižší teploty (než asi 35 stupňů Celsia), probíhal by další děj rychleji. My byli ale netrpěliví, takže jsme thiosíran přivedli ke krystalizaci asi brzo. Graf začal správně ukazovat nárůst teploty, ale mohl být strmější. Nicméně na svou teplotu tuhnutí se kapalina thiosíranu ohřála. Po nějaké chvíli, kdy látka krystalizovala, se začala její teplota snižovat. Jak se dalo ostatně čekat: teplota se vyrovnávala se teplotou okolí.

6. blok: Podchlazená kapalina, vypařování a var, fázový diagram

Poslední sobotní blok jsme začali stručným popisem podchlazené kapaliny a vrhli se na popis vypařování a varu. Při té příležitosti jsem vytáhl ptáka pijáka a postavil ho na stůl. Pták poslušně „pil“, následným vypařováním ochlazoval svou hlavičku, čímž se do ní začala nasávat tekutina z dolní části ptáka. Pták tak překmitnul k nádobě s vodou, opět „se napil“ a celý děj pokračoval dále.

„Zkoušeli jsme to jednou s alkoholem,“ nadhodila Lenka Sekaninová.

„Nemáš líh?“ zeptala se smíchem Milada Marková.

To už jsem byl na cestě do kabinetu pro líh. Vyměnil jsem vodu za líh a začaly se dít věci! Pták začal pracovat velmi intenzivně a rychle, protože se líh lépe a intenzivněji vypařoval ve srovnání s vodou. Účastníci semináře propukli v jásot a smích hraničící s pláčem. Komentovali chování ptáka tak, jako by to byl živý tvor a skutečně nasával alkohol. Do toho jsem začal vysvětlovat, co to je sytá pára a jak souvisí s varem vody. S injekční stříkačkou jsem poté předvedl var vody natočené z kohoutku; voda tedy vřela při pokojové teplotě.

Poslední sobotní blok jsme uzavřeli fázovým diagramem a úvahami kolem teploty rosného bodu, relativní vlhkosti a podobně.

7. blok: Elektrostatické pole - vlastnosti elektrického náboje, Coulombův zákon

První nedělní blok začínáme elektrostatikou. Na úvod předvedu dva experimenty, kterými lze žáky vhodně motivovat ke studiu této části fyziky.

„U toho prvního, vzhledem k tomu, že žáky už tou dobou znám a oni znají mě, se vždy ptám služby, zda ho chtějí vidět. Zda mi to služba povolí,“ usmívám se na úvod. „To už totiž služba tuší, že bude muset později uklízet. Ale povolení jsem zatím vždy dostal.“

„Jo, udělej to, my to uklidíme!“ ozývá se ze třídy.

„Dobře,“ souhlasím a natahuji se za roh učebny do kabinetu, kde mám na fotomisce připravenou polystyrenovou drť používanou k vyplnění balíků. Pokládám misku na kulový nástavec van der Graaffova generátoru a generátor zapínám. Během několika sekund začnou kousky polystyrenu z misky odletovat. Musím ještě pochopitelně počkat, než všechny iVěci v učebně stihnout tento experiment zachytit, a můžeme pokračovat dále. Je pravda, že téměř okamžitě se najdou ochotné ruce pomáhající drť sesbírat ze země a z lavic.

Druhým experimentem je experiment s bublinami, které nafouknu na místě, kde předtím stála miska s polystyrenovou drtí. Když pak zapnu generátor, bublina se vlivem odpudivé síly odtrhne a je možné jí pomocí nabité tyče pěkně povodit po třídě. Tentokráte bubliny ale dost praskaly. Ale efekt vidět byl.

„Tak a teď si sepíšeme základní vlastnosti elektrostatického pole,“ říkám a vysílám z dálkového ovladače příslušný signál k dataprojektoru. Chvíli čekáme - a nic! Dataprojektor (jak jsem již delší dobou očekával) odešel do křemíkového nebe. Tak alespoň, že se to stalo až v neděli dopoledne. Zaběhnu do kabinetu pro fixy a pokračujeme dále analogově.

Během sepisování vlastností elektrostatického pole průběžně ukazuji další experimenty:

„Uvědomte si, že elementární náboj je první veličina, se kterou se žáci setkávají, která je kvantována,“ upozorňuji, když to slovo napíšu na tabuli. „Přesto si myslím, že má smysl, aby toto slovo zaznělo, ale je nutné ho vysvětlit. Osobně používám příměr s kvantováním české měny korunami. Je pravda, že my a rodiče žáků pamatují doby, kdy byla měna kvantována desetihaléři nebo dokonce pětihaléři.“

Než Věrka Krůsová, která se ujala o víkendu fotografování, zachytí analogový záznam na tabuli na digitální fotoaparát (na přání účastníků), připravím další experiment. Na polystyrenovou desku připravím elektrikářkou lištu a na její konce postavím dvě plechovky. Ty připojím vodiči k indukční elektrice. Na lištu postavím míček na stolní tenis obalený alobalem a zatočím klikou elektriky. Téměř okamžitě se ozve pravidelné cinkání míčku do plechovek a nadšení ze třídy. Většina účastníků tento experiment viděla poprvé, takže si čočky iVěcí přišly opět na své.

„Kromě toho můžete míček zavěšený na niti buď podržet nebo ho zavěsit na stojan a nechat ho pohybovat vzduchem,“ říkám a přitom vše realizuji. „Míček se v tom případě bude pohybovat ve směru siločar daného pole.“

Účastníci semináře jsou opět nadšení a pečlivě sledují pohyb míčku.

„Teď je ale otázka, proč se míček pohybuje od jedné plechovky ke druhé,“ začínám vysvětlení experimentu. Postupně se dozvídám správné odpovědi: od jedné plechovky se nabije, a proto je od ní odpuzován, zatímco druhou je současně přitahován. Jakmile se dotkne druhé plechovky, změní se náboj na míčku a děj pokračuje stejným mechanismem dále.

„Na počátku byl ale míček v klidu. Jestliže se začal pohybovat, …“ nechávám větu nedokončenou.

„… musí na něj působit síla,“ odpoví několik účastníků semináře.

„Přesně tak. A tato síla je dána právě náboji na míčku a na plechovce,“ usmívám se a píšu na tabuli matematickou podobu Coulombova zákona včetně relativní permitivity, kterou (jak také vysvětlím účastníkům setkání) zavádím rovnou při této příležitosti a ne až u deskového kondenzátoru.

„Abyste si procvičili zakreslování sil, mám tady pro vás zase pracovní listy,“ říkám a rozdávám listy, které používám i se svými žáky. Zakreslování sil plynule přejde do přestávky.

8. blok: Elektrická intenzita, druhy elektrostatického pole, práce v elektrostatickém poli

Poslední blok začínáme experimentem s detektorem náboje, který nabízel svého času Peter Žilavý z KDF MFF UK v Praze. Ukázka dvou typů nábojů na skleněné tyči a kůži funguje dobře, ale elektrostatická indukce na lidech se nedaří. Netrápím se s tím nyní, zkusím to připravit na příští seminář a udělat tento experiment třeba hned na začátku setkání.

„Představme si nyní, že mám jeden náboj jako zdroj elektrostatického pole a chci to pole popsat. Zatím mám tedy k dispozici pouze sílu, takže v každém bodě, kde budu chtít pole popsat, potřebuji znát nejen vzdálenost od zdroje pole, ale také náboj, kterým to pole testuji, a sílu působící mezi oběma náboji. A to je příliš mnoho informací. Proto zavádíme elektrickou intenzitu jako podíl elektrostatické síly a náboje, kterým dané pole testuji,“ říkám a současně kreslím příslušné obrázky na tabuli.

Po zavedení obou jednotek elektrické intenzity a vysvětlení, která z nich je pro praxi lepší, začínám kreslit čtyři situace lišící se nábojem zakreslovaných nabitých hmotných bodů.

„Pomocí těchto obrázků dojdeme k té domluvě, která mluví o orientaci vektoru elektrické intenzity,“ říkám a společně s účastníky obrázky fyzikálně dokreslujeme.

„To je dobrý,“ zaznívá z učebny, „to se mi líbí. Je to jednoduché a jasné. To budu používat taky!“

Při klasifikaci elektrostatického pole na radiální a homogenní dojdeme k tomu, že už na tabuli vlastně nemůžu kreslit vektory, ale musím kreslit siločáry, k nimž je vektor elektrické intenzity tečný.

„Mám na to pomůcku, která pochází patrně někdy ze sedmdesátých nebo osmdesátých let, ale pořád slouží. Přiznám se ale, že tím, že za hodinku končíme, se mi nechce jí vytahovat. Není problém jí ukázat, ale nechce se mi pak trávit hodinu času s mytím misek zamazaných od oleje.“

„Tak to připrav na příště a my to umyjeme,“ hlásí okamžitě Rita Chalupníková.

„Dobře, tak jo,“ usmívám se a pokračujeme dále k homogennímu poli a jeho využití u deskového kondenzátoru.

Na závěr semináře se dostáváme k práci, kterou vykoná elektrostatická síla v elektrostatickém poli.

„Já začnu tak, jak začínám se žáky,“ nabízím. „Připomeneme, kdo koná v práci v tíhovém poli Země v závislosti na tom, jakým směrem se těleso pohybuje.“ Přitom kreslím na tabuli obrázky.

„A v elektrostatickém poli je to to samé. Jediný rozdíl je v tom, že elektrostatická síla může být na rozdíl od gravitační resp. tíhové síly jak přitažlivá, tak odpudivá,“ a pokračuji v kreslení obrázků. Společně rozkreslíme situace, napíšeme, kdo koná v jednotlivých případech práci.

„Ale která je kladná a která záporná?“ ptá se Věra Krůsová.

„A není to jedno? Tady máš obrázky jednotlivých situací a nikde jsem nepotřeboval zavádět zápornou práci,“ usmívám se.

„No jo, ale v učebnicích to je napsané,“ nedá se Věrka.

„Tak je nečti,“ zní moje rychlá logická rada. Pak jdu k tabuli a pomocí vztahu pro mechanickou práci, kterou koná síla při přemístění tělesa po dané dráze, ukazuji, jak dostanu zápornou práci, kterou koná elektrostatická síla.

„Tady to máte, ale přijde mi to pro žáky ne moc uchopitelné.“

„To je pravda, to tvoje je lepší,“ pochvalují si účastníci semináře.

Odvozením vztahu pro tuto práci náš seminář končíme. Všichni se vrhneme na úklid školy a během několika málo minut školu opouštíme s přáním krásných (už zase přicházejících) vánočních svátků a těšením se na příští seminář v únoru.

Materiály ze setkání, které jsou účastníkům k dispozici:

Průběh čtvrtého semináře je zobrazen na fotografiích.

Autoři fotografií:

Věra Krůsová

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 30. 11. 2016