Heuréka - 11. seminář (speciální teorie relativity a úvod do mikrosvěta)

O víkendu 19. - 21. 10. 2018 se konal v prostorách SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské desátý seminář projektu Heuréka pro střední školy, který podporuje KDF MFF UK Praha.

Jedenáctý seminář byl věnován speciální teorii relativity a úvodu do mikrosvěta. V pátek v půl osmé večer se v učebně fyziky sešlo 26 účastníků.

1. blok: Časová osa a historický úvod

V půl osmé jsme začali technickými informace, vysvětlením problematiky spojené s udělováním certifikátů a dalšími nutnými informace. Hned poté jsme se pustili do plánovaného tématu.

„Teorii relativity nikdy nezačínám rovnou, ale snažím se ukázat, proč a odkud vzešla,“ říkám na úvod. „Abychom si udělali základní představu, zkusíme si některé objevy srovnat nejdříve časově,“ usmívám se a rozdávám všem účastníkům semináře kartičky s různými událostmi - a to jak spojenými s fyzikou, tak s běžným životem.

„Vaším úkolem je seřadit je historicky tak, jak za sebou následovaly,“ zadávám úkol a učebna se okamžitě promění v hučící úl, ve kterém všichni přemýšlejí nahlas, snaží se říct své tipy či znalosti.

Když je na katedře jakýsi nástin pořadí udělán, navrhuji, že si to můžeme vyvěsit venku na časovou osu.

„Kde?“ „Ty tu máš nějakou osu?“ zaznívají dotazy.

Mlčky odcházím z učebny na chodbu, na které jsem časovou osu před začátkem semináře připravil. Účastníci jsou spokojeni, já říkám roky, kdy daná událost nastala, a postupně rozvěšujeme kartičky do správného roku, kam patří.

„Tak to je dobrý!“ „To se mi líbí!“ „Že nám to dáš k dispozici?“ zaznívá z úst účastníků. Jsem rád, že původní plán splnil své.

„Pokud máte vazbu na KDF MFF UK, tak až letos o prázdninách jsem zjistil, že jsem si začal chystat podobnou aktivitu jako Zdeňka Koupilová. Ale každý jí máme v jiném rozměru a s jinými událostmi,“ vysvětluji, pokud někdo z přítomných zažil některé Zdenčiny aktivity.

Pak se pustíme do historického úvodu, který mám připraven ve formě prezentace. Postupně probereme:

  • Galileo Galilea a jeho důraz na provádění experimentů;
  • Isaaca Newtona a jeho slavné dílo, ve kterém položil základy jak mechaniky, tak matematického popisu fyzikálních jevů;
  • Michaela Faradaye a jeho velmi pečlivé experimenty a vize, že silové působení se nešíří nekonečnou rychlostí, jak předpokládal Newton;
  • Jamese Maxwella a jeho matematický popis Faradayových experimentů, který vyústil ve čtyři slavné rovnice;
  • Heinricha Hertze, kterému se podařilo dokázat existenci elektromagnetických vln.
  • Faradayova teorie některé přítomné dámy překvapila, neb předpokládaly okamžité šíření silového působení - např. mezi Slunce a naší Zemí. Ale to jsme si vysvětlili.

    Vlastnosti éteru, který byl fyziky zaveden proto, aby se mohli pokusit vysvětlit velmi vysokou velikost rychlosti šíření světla, ukazuji pomocí kdysi velmi populární inteligentní plastelíny. Z měření Michelsona pak vyplynulo, že zavedení éteru bylo zbytečné.

    Pro nás byl Michelsonův experiment užitečný i v tom, že jsme si pomocí příměrů s kriminálními filmy nebo reklamou na tramvajích v Praze vysvětlili princip činnosti polopropustného zrcadla.

    Před koncem prvního bloku přijde, jako se stalo téměř tradicí, se svými velmi zajímavými a pěknými experimenty Stáňa Tomšová. Kombinace 3D fólie nalepené na sešitu a laseru nás nenapadla, ale Stáňu ano. A výsledný efekt nám vyrazil dech.

    Když se pokouším měnit podmínky experimentu, podaří se mi na nerovnostech fólie navíc vytvořit interferenci.

    „To vysvětlit umím,“ usmívám se. „To je dáno tím, že laserem svítím pod velkým úhlem, takže pro světlo laseru jsou vlastně ty nerovnosti blíže k sobě a světlo na nich interferuje.“

    Tím první blok končí a rozcházíme se.

    2. blok: Prostor a čas, relativnost současnosti, dilatace času

    Sobotní první blok zahajujeme diskusí o budoucnosti seminářů. Spolu s Irenou Dvořákovou garantující běh seminářů ze strany MFF UK předpokládáme od roku 2019 znovuzahájení semináře od začátku, současně můžeme vyhovět prosbě stávajících účastníků o nadstandardní semináře zaměřené na propojování matematiky s fyzikou, řešení zajímavějších úloh, …

    S touto vizí jsem účastníky seznámil a souhlasili. Ohledně náplně těchto seminářů jsme domluvili také přibližný program, takže snad seminář vyhoví představám. Ale to uvidíme až na jaře.

    Problematiku speciální teorie relativity jsem začal zopakováním faktů ze včerejšího úvodu, a pak jsme pokračovali dále. Nejdříve jsme si uvědomili základní poznatky klasické mechaniky:

  • nutnost mít čtyři souřadnice k popisu fyzikálních jevů - což ostatně známe i z běžného života;
  • vysvětlení soumístných a současných událostí;
  • připomenutí, proč je speciální teorie relativity speciální;
  • zopakování inerciálních systémů;
  • připomenutí Galileiho principu relativity.
  • „Je nějaký rozdíl mezi zákonem a principem?“ ptá se Milada Marková.

    „Osobně vnímám ten rozdíl tak, že princip bych řadil na stejnou úroveň jako axiom v matematice. Tedy základ teorie, z něhož se dále vyvozují fyzikální zákony,“ odpovídám.

    Tím se dostáváme k základním principům teorie relativity:

  • princip relativity, který je zobecněním Galileiho principu;
  • princip konstantní velikosti rychlosti světla.
  • „Můžete namítnout, proč se ten druhý dává do základů teorie,“ říkám. „Je to jednak užitečné tímto předpokladem začít - stejně by se při dalším odvozování bez něj nedalo obejít. Navíc se můžete odvolat na Michelsonův experiment, v rámci kterého přesně toto proměřil.“

    Prvním jevem, na který se podíváme, je relativnost současnosti. Tu mám ve zvyku popsat matematicky bez uplatnění dilatace času a kontrakce délek, aby si žáci tuto skutečnost uvědomili. Současně diskutujeme, proč se relativita většinou vysvětluje na jedoucích vagónech. Velmi správně většina účastníků odpovídá, že v Einsteinově době nebyl rychlejší dopravní prostředek k dispozici. Diskusi o pozorovateli ve vagóně, který měří čas dopadu světla na přední a zadní stěnu vagónu, zvládneme rychle s odvoláním na principy teorie relativity. Osobně se nikdy nikdo neptal na šíření informace ze stěny k pozorovateli, ale od účastníků tohoto semináře jsem zvyklý i na zajímavější otázky. Tento dotaz navíc může přijít od žáků, proto diskuse na toto téma nebyla zbytečná.

    Pak přecházíme ke světelným hodinám jakožto nejjednoduššímu principu, jak měřit čas. S jejich využitím odvodíme vztah pro dilataci času a upozorním i na zjednodušenou, ale fyzikálně nesprávnou slovní formulaci tohoto principu.

    „Viděla jsem v divadle představení a tam to krásně ukazovali názorně,“ hlásí se Jitka Piskačová. „Po přestávce vám to předvedeme.“

    3. blok: Kontrakce délek, důkazy platnosti STR

    Jak Jitka slíbila, tak činí. Spolu s Janou Hynštovou ukázaly dilataci času s využitím námětu z divadelního představení Indián v ohrožení. Podobnou scénkou pak demonstrovaly i kontrakci délek.

    Poté jsme pokračovali kontrakcí délek.

    „Jak změříte délku tyče, která se vůči vám pohybuje?“ ptám se účastníků semináře s hliníkovou tyčí v ruce.

    Postupně padá několik použitelných a pro mé další povídání vhodných nápadů:

  • vyfotografovat tyč proti stěně s měřítkem;
  • označit na stěně místo, kolem kterého tyč pojede, a z naměřeného času a velikosti rychlosti pohybu určit její délku;
  • současné označení počátečního a koncového bodu tyče na stěně.
  • „Všechny navrhované metody jsou fajn a všechny vyžadují buď současné označení - to je ta první a poslední metoda - nebo měření času. A tedy nutně narazíme na relativnost současnosti nebo na měření času. Proto to nebude asi až tak jednoduché“, varuji.

    Začínám odvozovat vztah pro kontrakci délek pomocí času, který potřebuje světelný paprsek, aby prošel kolem tyče jedním a druhým směrem. Paprsek přitom sledujeme ze dvou inerciálních soustav: z klidové soustavy tyče a ze soustavy, vůči níž se tyč pohybuje.

    Výsledný vztah pak okomentujeme podobně jako vztah pro dilataci času.

    „Informace o experimentálním ověření těchto dvou vztahů jsem si nechal záměrně až na toto místo,“ říkám. „Uvedené experimenty lze totiž vysvětlit jak pomocí kontrakce délek, tak pomocí dilatace času.“

    Postupně zmíním tyto důkazy:

  • střední doba života mezonů a mionů a dráha, kterou během svého „života“ uletí vůči laboratoři;
  • CERN a urychlovače částic obecně;
  • GPS s atomovými hodinami, které jdou na družicích tak nepřesně, aby na Zemi byly časové údaje naprosto v pořádku.
  • Diskuse, která vznikla kolem měření střední doby života částice v klidu a výpočtu vedoucímu k této hodnotě, byla užitečná pro ujasnění si potřebných pojmů a vazeb.

    Krátce po dvanácté hodině končíme a odcházíme na oběd.

    4. blok: Lorentzova transformace a její důsledky, princip kauzality, relativistická hmotnost a hybnost

    Po obědě jsme se sešli k dalšímu bloku.

    „Optám se, i když je mi jasná odpověď předem,“ začínám čtvrtý blok semináře. „Chcete se pobavit o Lorentzově transformaci?“

    „Ano, chceme,“ zazní téměř sborově z učebny.

    „Myslel jsem si to,“ usmívám se a vysvětluji, že tuto látku ve škole nezkouším, ale díky značnému procentu žáků, kteří od nás odcházejí na technické školy, to považuji za rozumné zmínit.

    Před samotnou Lorentzovou transformací připomenu transformaci Galileiho, kterou asi většina z nás přímo ve škole nezmiňuje, ale od prvního ročníku v rámci klasické fyziky se s ní pracuje. Pak napíšu vztahy pro speciální případy Lorentzovy transformace a na vyžádání odvodím i vztah pro transformaci času. Pokračujeme odvozením skládání rychlostí v rámci teorie relativity, které někteří z účastníků viděli patrně poprvé. Na závěr pak ukazuji souvislost Lorentzovy transformace a Galileiho transformace.

    „Chápu, že limitní přechod c jdoucí do nekonečna může vypadat divně, ale mám tím na mysli, že velikost rychlosti světla ve vakuu je výrazně větší, než běžné rychlosti, kterými se v rámci klasické fyziky pohybujeme,“ vysvětluji. „A nebo můžete psát přechod, že podíl v ku c se blíží k nule. To je totéž.“

    Pak přistoupíme k principu kauzality, který ve spolupráci s teorií relativity zakazuje pohyb těles a inerciálních soustav nadsvětelnými rychlostmi. Kdyby totiž byl takový pohyb možný, lze z Lorentzovy transformace odvodit prohození časového sledu ve druhé soustavě. A to by vedlo k paradoxům, které jsou popsány ve v českém filmu Zítra ráno vstanu a opařím se čajem (1977. režie Jindřich Polák) a ve třech amerických filmech Back to the future (1985 - 1990, režie Robert Zemeckis).

    Pak přistupujeme k relativistické dynamice a relativistické hmotnosti.

    „Vztah lze odvodit na základě zákona zachování energie a zákona zachování hybnosti, ale já to nedělám. A přiznám se, že ani nejsem schopen to teď z hlavy napsat,“ říkám a vztah rovnou píšu na tabuli.

    „Já se k němu dostanu úvahou spojenou se zrychlováním těles. Velikost rychlosti nemůže nade všechny meze růst, takže jediné, jak zmenšit počáteční zrychlení je nárůst hmotnosti,“ dělí se o svou zkušenost Jitka Piskačová.

    Poté zavedeme relativistickou hybnost a vyslovíme zákon zachování hybnosti, který hraje stěžejní roli v urychlovačích částic.

    „Pořád mluvím o urychlovačích částic,“ říkám, „protože jsou důležité i pro běžný život. Objevením nové částice pochopitelně nezlevní chleba nebo pivo, ale díky velké náročnosti urychlovačů na využívané technologie mohou být tyto technologie levně dodávány do iVěcí, tomografů a dalších zařízení, která tak mají nižší pořizovací cenu.

    Krátkým úvodem o vzájemné souvislosti změn energie a hmotnosti končíme první poobědový blok.

    5. blok: Energie v STR, paradoxy STR

    Po přestávce jsme pokračovali se studiem energie v rámci teorie relativity.

    „Běžně tuto úlohu řeším s čokoládou v ruce, ale zapomněl jsem jí na dnešek koupit,“ omlouvám se. „Jsem proto rád, že mi Marie Vraná čokoládu půjčila.“

    Pak zadávám úlohu: Jaká energie je ukryta ve stogramové čokoládě?

    S využitím notoricky známého, ale ne všem jasného vztahu, spočítáme energii, která by (po přepočtu) stačila všem lidem z Prahy na rok jejich života.

    „Jenže, problém je, že neumíme všechnu takto spočítanou a v čokoládě teoreticky obsaženou energii uvolnit a využít,“ říkám. Současně začínám psát odhady energií, které lze uvolnit při chemické reakci a při jaderné reakci. Pro řádově jeden mol materiálu se dostáváme v jaderné fyzice na přibližně procento z energie, která vychází dle teorie relativity.

    „A bude možné někdy využít opravdu vše?“ ptá se někdo ze třídy.

    „Obávám se, že asi ne,“ promýšlím odpověď. „To bychom museli hmotu přeměnit na ekvivalentní energii a to se obávám, že nebude možné.“

    Když skončíme diskusi kolem využitelné energie, nabízím možnost ukázat, jak převést vztah pro kinetickou energii v rámci klasické mechaniky (tj. pro malé velikosti rychlostí pohybujících se těles) na známý vztah. Všichni to chtějí vidět.

    Začnu tedy (jak já doufám) připomenutím vztahů, které lze použít pro jistá zanedbání.

    „Tohle je typická vlastnost matematiků,“ zlobí se Tomáš Krisl. „Na x na čtvrtou si troufneš ho zanedbat, ale na x na druhou ne!“

    „Nemůžu vyškrtat úplně vše!“ odpovídám. „To je jako bys s vodou z vaničky vylil do kanálu i dítě! Musíš mít dostatečně jemnou mříž na kanálu, aby ti to dítě zůstalo!“ snažím se vymyslet analogii.

    Po další krátké diskusi si vše vyjasníme a pokračuji dále. Pak odvodím s využitím těchto vztahů klasický vztah pro kinetickou energii.

    „Hmm, tak to žákům asi ukazovat nebudu,“ ozve se ze třídy.

    „Nemusíš,“ usmívám se. „Je jen na tobě, co z toho, co tu uděláme, použiješ ve výuce a co ne.“

    Nabízím varianty, jak postupovat dále. Z nabídky, jak zakončit teorii relativity, si vybrali účastníci semináře paradoxy a prostoročasové diagramy. Tak se vrhneme na paradoxy a zvládneme před koncem bloku projít tři:

  • paradox dvojčat, který přesahuje speciální teorii relativity do neinerciálních soustav;
  • relativistické rytíře, u kterých se díky mé historce o hospitaci kolegyně angličtinářky na hodině se třídou 14M před dvěma lety poměrně dobře i pobavíme;
  • šíleného závoráře.
  • Tím paradoxy opouštíme a dopřejeme si přestávku před posledním sobotním blokem.

    6. blok: Prostoročasové diagramy, filmová ukázka, krátký úvod do fyziky mikrosvěta

    Na přání účastníků semináře začínáme další blok ukázkami prostoročasových diagramů používaných v teorii relativity a kosmologii.

    „S těmito diagramy se můžete setkat zejména v populárních knihách o kosmologii, černých dírách a dalších,“ říkám na úvod.

    Postupně pak avizované diagramy zakreslím, upozorním na odlišnosti od diagramů používaných v klasické fyzice a zobrazíme některé objekty, abychom získali jasnější představu. Současně odvodíme maximální možný sklon světočáry zobrazené v tomto grafu plynoucí z omezení velikosti rychlosti pohybujících se objektů. Patrně vlivem únavy z náročného tématu se občas diskuse místy zvrhne v humorná přirovnání, ale stále pokračujeme v tématu. Závěrečné ujasnění, ke kterému mě vedou otázky účastníků, některým možná pomůže. Uvidíme.

    „Na závěr problematiky spojené s teorií relativity promítám žákům ukázku z filmu Cosmos (1980), který připravil americký astronom Carl Segan. Kolega tutéž ukázku pouští jako motivaci před začátkem teorie relativity. Zda jí použijete i vy, je na vás,“ říkám na úvod.

    K ukázce mám připraven pracovní list s otázkami, na které po zhlédnutí přibližně 15minutové ukázky z filmu hledali účastníci odpovědi.

    Na závěr projdeme základní fakta (možná spíše varování) o fyzice mikrosvěta:

  • mikrosvět není zmenšenina makrosvěta;
  • v mikrosvětě platí zákony, které nemají v makrosvětě analogii;
  • tak jako existovaly limitní přechody z teorie relativity do makrosvěta, existují tyto přechody i zde;
  • významnou konstantou je v této teorii Planckova konstanta.
  • Tím jsem se snažil hned v úvodu podchytit „nezvyklosti“, které nás na cestě mikrosvětem budou čekat. Snad se ráno v mikrosvětě neztratíme.

    7. blok: Vývoj poznatků na strukturu mikrosvěta, Thomsonův model atomu, Rutherfordův experiment a model atomu

    Ráno začínáme předposlední blok našeho setkání. Věnujeme se vývoji poznatků o struktuře hmoty. Postupně projdeme důležité mezníky:

  • Démokritovy atomy, které z dnešního pohledu byly spíše molekuly;
  • Daltonovu teorii o slučování látek v předem daných poměrech;
  • Plückerův objev katodového záření a jeho vlastností;
  • Thomsonovu předpověď existence elektronu;
  • Millikanův experiment prokazující existenci elektronu a kvantování jeho náboje.
  • „Stejně jako v jiných oblastech fyziky, i v rámci fyziky mikrosvěta si fyzikové vytvářejí různé modely,“ říkám. „Proto začali vytvářet i první modely atomů.“

    Popíšu Thomsonův model atomu, vysvětlíme si jeho výhody i nevýhody a pokračujeme k experimentu, který navrhl Ernest Rutherford. Ten popisujeme detailně, včetně vhodných přirovnání a příměrů, které pomohou následně žákům pochopit taje a rozměry objektů mikrosvěta.

    „Omlouvám se za pragocentrismus, ale mám připravený příměr, který se týká pouze Prahy,“ říkám a beru do ruky korunovou minci. „Jestliže tato mince s průměrem zhruba centimetr bude představovat atomové jádro, pak atom bude velký …“

    „Kilometr,“ ozve se ze třídy.

    „Ano, přesně tak,“ usmívám a promítám obrázek mapy Prahy, v jehož středu je budova naší školy a kolem je vyznačena kružnice. „V tomto modelu sahá atom až do těchto částí Prahy,“ říkám a popisuji významné památky a místa na hranici vyznačené kružnice.

    „Já používám příměr stometrového fotbalového hřiště, uprostřed kterého je nějaký milimetrový objekt,“ říká Jitka Piskačová.

    „Nenutím svojí vizi nikomu, příměr si vyberte dle vlastního uvážení, ale myslím, že uvést podobný příměr je vhodné. Jinak to pro žáky bude jen snůška čísel bez konkrétní představy.“

    Všichni souhlasí.

    „A v tomto prostoru ohraničeném zakreslenou kružnicí - ve trojrozměrném prostoru kulovou slupkou,“ pokračuji, „by se u nejtěžších prvků periodické soustavy pohybovalo cca 100 elektronů, které by v tomto modelu měly velikost menší než hlavička špendlíku.“ Všichni pokyvují hlavou.

    Po popsaném Rutherfordově experimentu následuje vybudování modelu, který nese jeho jméno a který jako první obsahoval jádro. Při řešení nestability takového atomu se dostaneme trošku do problémů spojených s vyzařováním elektronu. Nicméně základní idea je jasná všem.

    8. blok: Složení jádra, vazebná energie, záření černého tělesa a Planckova kvantová hypotéza

    Poslední blok začínáme složením jádra a diskusí nad popisem jádra pomocí protonového, neutronového a hmotnostního čísla. Zdůrazníme, jaké vlastnosti může o daném nuklidu zjistit chemie, jaké fyzika a proč pro chemii nejsou různé izotopy příliš podstatné.

    Při zavádění vazebné energie systému mají někteří účastníci tendenci slyšet i to, co jsem neřekl. Přitom o syntéze a štěpení jsem záměrně nemluvil, protože tím bych celou problematiku zatemnil. Důsledně jsem se držel uvažování o stabilních systémech a nestabilních systémech a o interakcích jader jsem nemluvil. Po celkem bouřlivé diskusi se konečně ujasnilo, jaká byla původní myšlenka mého sdělení, a mohli jsme plynule pokračovat. S využitím Einsteinova vztahu pro energii jsme definovali vazebnou energii na základě hmotnostního úbytku a znovu připomněli, že důkaz existence této energie známe z roku 1945 z Japonska.

    Kvantovou fyziku jsme začali připomenutím úvah o proměřování záření absolutně černého tělesa. Měření byla provedena, graficky zobrazena, ale nedařilo se najít průběh křivky, která by naměřená data popsala v celém proměřeném oboru vlnových délek.

    „S touto funkcí přišel až Max Planck na základě předpokladu, že se elektromagnetické záření šíří nespojitě,“ říkám a píšu příslušný zápis na tabuli.

    „Já to ale slyšela opačně,“ říká Jitka Piskačová. „Že to nejdříve odvodil, a když pak přemýšlel nad fyzikální interpretací, tak jediná volba byla přijmout nespojité šíření elektromagnetického vlnění.“

    „Dobře, zjistím, co bylo dříve,“ píšu si poznámku a hlavou mi běží slavná historka o kuřeti a vejci. „Na Planckův přínos vědě ovšem nemá pořadí jeho myšlenek vliv. Stejně tak slovo hypotéza figurující v názvu Planckova přínosu vědě má čistě historický význam. Za dobu své existence byla tato hypotéza mnohokrát prokázána.“

    Po zavedení vztahu pro energii jednoho kvanta záření přistupujeme k výpočtu energie fotonu viditelného světla.

    „Výpočet není složitý a pro získání představy o energiích je to dobré. Navíc právě tato hodnota má význam i v praxi,“ sděluji a společnými silami počítáme příslušnou energii.

    Když se pak ptám na využití v praxi, na polovodiče a šířku zakázaného pásu v materiálech vhodných pro výrobu polovodičů si nevzpomene nikdo.

    „Fotoefekt probrat za pět minut neumím,“ říkám při pohledu na hodinky. „Takže se tímto rozloučíme a uvidíme za tři týdny.“

    Uklidíme školu a postupně odcházíme.

    Za tři týdny se zase uvidíme.

    Materiály ze semináře, které jsou účastníkům k dispozici:

  • prezentace Úvod do moderní fyziky;
  • ukázka z filmu Cosmos - na semináři byl prezentován úsek od času 10:30 do 25:35;
  • pracovní list k filmové ukázce Cosmos - při použití ukázky v originále nedává jedna otázka pracovního listu smysl;
  • záznam tabule - záznam z interaktivní tabule pořízený během semináře.
  • Průběh desátého semináře zobrazují fotografie.

    Autoři fotografií:

    Věra Krůsová

    Jaroslav Reichl

    © Jaroslav Reichl, 23. 10. 2018