Heuréka - 1. rozšiřující seminář (matematika a její aplikace - vektory, funkce, limity, derivace)

O víkendu 29. - 31. 3. 2019 se konal v prostorách SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské první seminář nadstandardního běhu projektu Heuréka pro střední školy, který podporuje KDF MFF UK Praha a Elixír do škol.

Účastníci, kteří ukončili na podzim roku 2018 tříletý běh seminářů zaměřených na výuku fyziky na střední škole, si vyžádali pokračování v podobě matematicko-fyzikálního nadstandardu. Po schválení tohoto typu semináře ze strany MFF UK Praha se mohl rozjet první z nich.

V pátek v půl osmé večer se sešlo v učebně fyziky 18 účastníků.

1. blok: Vektory a báze

„Nevím, jak začít, protože v nápadech, které přicházely mailem, se objevovaly tipy od řešení složitějších středoškolských úloh, přes operace s vektory a derivace až po řešení Maxwellových a Lagrangeových rovnic,“ říkám na úvod.

„Kdo chtěl ty rovnice?“ děsí se některé přítomné dámy.

Na můj dotaz se přihlásila přibližně polovina účastníků, že kromě fyziky učí i matematiku. Velmi rychlou společnou domluvou jsme dospěli k tomu, že začneme vektory, postupně přejdeme na derivace a další matematické operace a vše budeme prokládat fyzikálními aplikacemi.

Proto začínám vysvětlovat vektory, jejich umístění a souřadnice.

„Důležitým pojmem, je pojem báze daného prostoru,“ zkouším opatrně.

Kývání hlav je mi souhlasem, že se můžeme tomuto pojmu věnovat. Proto tedy postupně probereme:

Lineární závislost a nezávislost ukazuji na jednoduché pomůcce vyrobené z houbičky na nádobí a tří špejlí, které reprezentují vektory. Ač velmi jednoduchá, účastníkům semináře se pomůcka líbí.

Před koncem bloku spočítáme dvě úlohy zaměřené na ověření, zda zadaná množina vektorů generuje či negeneruje zadaný prostor.

Krátce před devátou hodinou se pak rozloučíme.

2. blok: Polohový vektor, jednotkový vektor, součiny s vektory

2. blok: Polohový vektor, jednotkový vektor, součiny s vektory

Sobotní dopoledne začínáme zavedením pojmu polohový vektor.

„Ve fyzice v prvním ročníku ho nezavádím, okamžitou rychlost zadefinuji fyzikálně srozumitelně bez správného a hlubšího matematického pozadí,“ říkám na úvod. „Zavedu jej občas v analytické geometrii, občas až při opakování fyziky ve čtvrtém ročníku s maturanty.“

„To jsem ráda, že nejsem jediná, kdo to v učebnici přeskakuje,“ usmívá se Marie Vraná. „Matematická korektnost pak zabrání v porozumění fyzice.“

„Souhlasím!“ dodávám a pokračuji zavedením změny polohového vektoru a její souvislosti s okamžitou rychlostí.

Dále zavádím pojem jednotkový vektor.

„Na střední škole opět asi nepoužitelné, ale pro zvídavé a na technickou vysokou školu mířící žáky velmi užitečné,“ vysvětluji a ukazuji na příkladu matematického vyjádření Newtonova gravitačního zákona použití jednotkových vektorů.

Na přání účastníků pak řešíme dvě úlohy ze sbírky Dany Mandíkové z KDF MFF UK Praha. Řešení, u kterého se neobejdeme bez různých dvourozměrných pohledů na trojrozměrnou situaci, se účastníkům líbí.

Pak pokračujeme součiny s vektory.

„Vzhledem k tomu, že v aplikované matematice, kterou mají žáci čtvrtého ročníku jako volitelný předmět, probírám i lineární diferenciální operátory gradient, divergence a rotace, připravuji si součiny s vektory půdu pro snazší zavedení těchto operátorů. Proto často mluvím o součinu bez ničeho, s tečkou a s křížkem. Je to sice na sebrání diplomu z matfyzu, ale pro žáky se pak výrazně lépe přejde k těm operátorům,“ uvozuji problematiku.

Zavedení násobku vektoru skalárem je rychlé, protože to všichni známe.

Skalární součin zvládneme také rychle, včetně ukázání dvou jeho použití:

U vektorového součinu, který zavádíme potom, chtějí účastníci odvodit souřadnice tohoto vektoru. Odvozuji souřadnice na základě podmínky, že výsledný vektor vektorového součinu je kolmý k oběma zadaným vektorům. Přitom opět využívám pomůcku vyrobenou z houbičky a špejlí.

3. blok: Vektorový součin, smíšený součin, fyzikální úlohy

Po přestávce upozorňuji na možnost pamatovat si souřadnice vektoru, který je výsledkem vektorového součinu jiných dvou vektorů, pomocí jisté finty.

„Těchto mnemotechnických pomůcek existuje několik, hlavně je pro vaše žáky nekombinujte najednou,“ varuji před případným zmatením žáků.

Pak projdeme vlastnosti vektorového součinu a jeho geometrickou interpretaci.

„Vzhledem k tomu, že jsme právě popsali obsah rovnoběžníku, zavedu ještě tzv. smíšený součin tří vektorů, který má také geometrický význam,“ říkám a příslušný součin píšu na tabuli. „Závorky netřeba, je jasné, v jakém pořadí je nutné násobit vektory!“ I tak si někteří účastníci zápis se závorkami vyžádali.

Pak už přicházejí na řadu fyzikální úlohy využívající některý ze součinů s vektory:

První dvě úlohy jsou čistě pro ukázku, jak do fyzikálních úloh dostat vektorový součin. Poslední je zobecněním úvah, které jsme dělali v rámci výuky magnetického pole pro částici letící do homogenního magnetického pole kolmo k magnetickým indukčním čarám. Když vypočítáme i úhel, pod kterým částice do homogenního magnetického pole vlétá, zbývá do konce bloku necelých pět minut.

„Mám připravenu ještě jednu úložku na podobné téma, ale tu si necháme až po obědě,“ avizuji další program.

Po několika minutách pak odcházíme společně z budovy - někdo na oběd, jiný na tříhodinové toulky prosluněnou Prahou.

4. blok: Úloha na vektorový součin, exponenciální funkce, inverzní funkce, logaritmické funkce

Po obědě řešíme ještě jednu úlohu zaměřenou na pohyb nabité částice v magnetickém a elektrickém poli. Principiálně podobná té minulé, jen zkomplikovaná o elektrické pole.

„Bylo by možné ty vektory nakreslit?“ ptá se Lubica po dopočítání úlohy.

„Bylo, ale na to si netroufám kreslit trojrozměrné vektory na dvourozměrnou tabuli,“ přiznává se. „Ale mohu to vykreslit v Mathematice.“

Ačkoliv mě všichni ubezpečovali, že vektory kreslit nemusím, nebránili mi, když jsem si sedl k počítači a vektory během několika minut nakreslil.

Pak jsme přešli, po všeobecné domluvě, k funkcím.

„Dříve, než projdeme funkci logaritmickou, která je pro techniky důležitá, začneme u funkce exponenciální,“ říkám a začínám psát na tabuli nadpis. „Otázkou je, zda mám hledat přesné matematické definice, které mám napsané tak, že to je jednoduché souvětí, nebo to psát heslovitě a definiční obory a obory hodnot vymýšlet průběžně.“

„Jen heslovitě,“ zní odpověď ze třídy.

Postupně tedy projdeme exponenciální funkce s různým základem. Na přání účastníků semináře ukážu finanční přístup k definici Eulerova čísla a v důsledku toho se pobavíme o případných výjimkách z výjimek, které používají banky při úročení našich vkladů.

Poté zmíním důležitý vztah, kterým lze převést obecnou mocninu na mocninu Eulerova čísla, byť tím předběhnu logaritmy. Zdůvodním, proč je tento vztah podstatný.

Pomocí několika jednoduchých, ale důležitých úloh vysvětlíme pojem inverzní funkce a přejdeme k definici logaritmické funkce.

Na závěr prvního odpoledního sobotního bloku najdeme několik mnou zadaných logaritmů a sepíšeme pravidla pro počítání s logaritmy.

„Ačkoliv to různé moderní alternativní přístupy k výuce zakazují, já týrám žáky tím, že musejí logaritmy ovládat velmi rychle a bezchybně. Pro ten účel jsem si vygeneroval v Mathematice kartičky s úložkami, které v případě, že žáci nepočítají dle mých představ, žákům rozdám a oznámkuji.“

To, že přišel dotaz na možnost sdílení této sadistické metody, jak žáky naučit logaritmy, není třeba ani zmiňovat.

5. blok: Logaritmy

Další blok byl věnovaný práci s logaritmy a jejich aplikací do technických předmětů. Postupně jsme zvládli:

Poslední odvození pak dalo vznik řadě dotazů, které jsem si vzal za domácí úkol a kterými budu průběžně obtěžovat své kolegy nebo žáky. Důvod a původ některých závislostí jsme prostě nevymysleli.

6. blok: Limity

Poslední sobotní blok začínáme s diferenciálním počtem. Po krátkém úvodu se věnujeme limitám.

„Se žáky začínám tak, že kreslím obrázky a říkáme si, jak vypadá graf funkce pro některé konkrétní hodnoty proměnné x,“ říkám na úvod. „Až pak píšu definici vlastní limity ve vlastním bodě - a to jak slovně, tak pomocí epsilon - delta akrobatiky.“

Už u prvního grafu nastal problém. Pro velká x bylo jasné, jak se hyperbola, která je grafem aktuálně vyšetřované nepřímé úměrnosti, chová. Když jsem napsal na tabuli pro extrémně malá x, chvíli trvalo, než jsme si vysvětlili, jaká čísla mám vlastně na mysli. Ale pak už bylo další vyšetřování bez problémů.

Následoval příklad funkce, kterou lze úpravou převést na jinou funkci a tu pak vyšetřovat. Postupně jsme se dobrali k tomu, že hledat limitu funkce ve vlastním bodě vlastně znamená vyšetřovat tuto funkci v bodech v okolí tohoto bodu. A podle toho, zda se nám podaří najít nějakou hodnotu, k níž se funkční hodnoty blíží či ne, funkce má nebo nemá limitu.

Pak přišly na řadu definice:

Pak jsme spočítali jeden příklad pomocí algebraických úprav a s využitím software Mathematica si ukázali vzájemnou polohu funkce sinus a osy prvního a třetího kvadrantu v okolí nuly. S využitím této limity jsme pak ještě spočítali další úlohu, kterou jsem následně také vizualizoval.

„No vidíte, a máme tu napsané první členy Taylorova polynomu funkce sinus a kosinus,“ upozorňuji na jeden ze závěrů, které lze na základě výpočtů limit vyslovit.

7. blok: Spojitost a derivace funkce

První nedělní blok zahajujeme několika matematicky velmi nepřesnými úlohami, které ilustrují, proč nelze dělit nulou. Kdybychom dělení nulou akceptovali, získáme hrůzné výsledky. My jsme tyto úlohy použili na ilustraci problémové limity typu nula lomeno nulou.

„Nyní přejdeme ke spojitosti funkce. Napíšu definici, abych ukázal korektnost tohoto pojmu, který intuitivně se žáky buduji v průběhu tří let předcházejících limitám a derivacím. Ukážu několik grafů funkcí jako vám a víc se spojitostí nezabývám. Ušetřený čas věnuji počítání úloh na derivace, protože to ti žáci, kteří půjdou studovat dále na vysoké školy, ocení.“

Ve třídě je vidět souhlasné pokyvování hlavou - ti z přítomných učitelů, kteří učí i matematiku, k této části látky přistupují velmi podobně.

Poté začneme derivaci funkce dvěma příklady:

Oba výpočty vedou k formálně stejným výrazům, které - jak se ukázalo v průběhu historie matematiky a fyziky - se objevují ve výpočtech často. Proto tyto výrazy dostaly své jméno: derivace funkce.

Ukážu značení derivace používané v matematice i ve fyzice a spočítáme derivaci dvou funkcí přímo z definice.

„Se žáky spočítám ještě x na třetí, někdy obecně x na n-tou. To už reptají, že to je dlouhé a náročné. A já mám připravenou půdu pro to, abych řekl, že je tedy nutné se naučit tabulku derivací z hlavy.“

„Jak spočítáš derivaci konstantní funkce?“ zazní dotaz od účastníků.

Chvíli přemýšlím, v hlavě si představuji příslušnou limitu, pak jí píšu i na tabuli.

„V čitateli je nula, ve jmenovateli pracujeme na prstencovém okolí, takže výsledkem je nula,“ říkám a ostatní učitelé to vidí podobně.

Pak řešíme několik úloh zaměřených na rutinní derivování. U funkce druhá odmocnina z x upozorňuji na problém derivace v bodě nula a kreslím i graf této funkce.

8. blok: Derivace - matematické i fyzikální úlohy

V posledním bloku pokračujeme ve výpočtu derivací funkcí. Postupně přidáme vztahy pro derivaci součinu a podílu dvou funkcí, které jsou pro někoho už trošku složitější, ale všichni si vzpomínají na svá středoškolská nebo vysokoškolská léta, během kterých derivace probírali a uměli počítat.

Když přidáme i vztah pro derivaci složené funkce, můžeme se konečně pustit do zajímavějších úloh. Kromě jiných ukazuji i odvození derivace obecné exponenciální funkce a logaritmu při obecném základu.

„Já si vztah pro derivaci těchto dvou funkcí nepamatuji, ale vím, jak obě z nich přepsat pomocí přirozeného základu. A pak je zderivuji již snadno,“ dodávám.

Na závěr přecházíme k fyzikálním úlohám:

Poslední příklad dopočítáme asi čtvrthodinku před oficiální koncem.

„To je takový symbolický konec, jak jsi to napsal,“ usmívá se Květa Siváková poslednímu mnou napsanému slovu VŠE na tabuli.

„Taky si myslím,“ usmívám se.

Loučíme se, uklízíme ve škole a pár minut po dvanácté hodině jsou všichni na cestě na hromadné prostředky, které je odvezou domů.

Materiály ze semináře, které jsou účastníkům k dispozici, a odkazy:

Průběh prvního nadstavbového semináře přibližují fotografie.

Autoři fotografií:

Jana Hynštová

Věra Krůsová

© Jaroslav Reichl, 2. 4. 2019