Heuréka - 15. seminář (dynamika STR, fyzika mikrosvěta - úvod, kvantová fyzika, atomová fyzika: spektrum atomu vodíku, Bohrův model)

O víkendu 20. - 22. 1. 2023 se konalo v prostorách SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské další setkání projektu Heuréka pro střední školy. Jednalo se o patnáctý seminář dalšího běhu projektu, který podporuje KDF MFF UK Praha a Elixír do škol.

V pátek v půl osmé večer se sešlo v učebně fyziky 19 účastníků (včetně jednoho žáka naší školy) na patnáctém semináři věnovaném středoškolské fyzice.

1. blok: Dynamika STR

V půl osmé večer vítám účastníky v učebně fyziky. Kromě standardních technických informací na úvod každého semináře, upozorňuji na jednu aktivitu.

„Na chodbě je natažená časová osa, na kterou se můžete podívat, můžete věšet další kartičky, jen je prosím, neberte. Taháky s roky jsou u kartiček na stole.“

„Aha – a to tu je jen kvůli nám?“ ptá se někdo z účastníků.

„Ano, natáhl jsem to odpoledne. Přemýšlel jsem o tom už minule, ale zbývalo nám z optiky příliš mnoho, než abych si byl jist, že se k moderní fyzice dostaneme,“ odpovídám.

„Pokud znáte podobnou aktivitu Zdeňky Koupilové, tak jsme to nezávisle na sobě – jak jsme se shodli – začali chystat zhruba ve stejnou dobu. Takže jsme si to navzájem neukradli. Navíc, jak jsem viděl tu Zdenčinu sadu, tak máme i dost navzájem různých událostí,“ dodávám na vysvětlenou, protože vím, že řada „mých“ účastníků chodila i na semináře ke Zdeňce.

Poté začneme dynamiku speciální teorie relativity zavedením a vysvětlením pojmů klidová hmotnost a relativistická hmotnost. Když uvedu příslušný vztah a vysvětlím ho, ukážu i jeho grafickou reprezentaci.

Po zavedení relativistické hybnosti a diskuse kolem ní, si vzpomeneme s Jirkou Adamem na experiment, který jsem na jeho žádost připravil: na vozíku je připevněn stativ a na něm se může kývat stogramové závaží. Když se závaží rozkýve ve směru, ve kterém se vozík může pohybovat, vozík se pohybovat začne. V ideálním případě (vodorovná položka, symetrické síly třecí resp. valivého odporu) by měl vozík „kmitat“ s opačnou fází, než je pohyb kyvadla. To se daří částečně ukázat.

„U energie, která následuje, je nutné pochopit rozdíl oproti jiným vztahům pro energii,“ pokračuji poté. „V tomto případě je rovnítko ve vztahu spíše ekvivalencí, zejména v případech, kdy se řeší úlohy nebo předpovídají experimenty v kvantové či jaderné fyzice.“

Postupně zavedu vztah pro:

„Zdánlivé hodně podobné, ale přitom každý naprosto zásadně jiný,“ upozorňuji.

Pro ilustraci, že na energii definovanou v rámci teorie relativity je třeba nahlížet opatrněji než na energii v klasické fyzice, spočítám dvě úlohy:

Oba příklady komentuji tak, aby si účastníci semináře, ani jejich žáci, nemysleli, že tato teorie je nějaká divná, ale naopak, že v případě některých částí fyziky poskytuje velmi kvalitní předpovědi pro experimenty.

Před koncem prvního bloku semináře vysvětlím kinetickou energii a ukážu, jak lze vztah odvozený v rámci teorie relativity převést v případě rychlostí, jejichž velikosti jsou zanedbatelně malé vůči velikosti rychlosti světla ve vakuu, na vztah známý z klasické fyziky.

„Má-li být fyzikální teorie, která je nadstavbou pro klasickou fyziku, konzistentní, pak musí být těchto přechodů schopna. Pokud bychom nebyli schopni z teorie relativity odvodit vztah platný v rámci klasické fyziky, nebyla by teorie relativity – případně jiná nadstavbová teorie nad klasickou fyzikou – v pořádku.

Dvě minuty před devátou hodinou končíme a loučíme se. Několik účastníků pak ještě chvíli zkoumá kartičky časové osy.

2. blok: Prostoročasové diagramy, úvod do fyziky mikrosvěta

První ranní blok začínám prostoročasovými diagramy, které jsem účastníkům slíbil v pátek večer. Začínám proto kreslit nejdříve závislosti tak, jak je známe z klasické kinematiky. Poté vyzvu účastníky semináře, aby vymysleli, jak je překreslit v grafu, který bude mít „vyměněny osy“ (ve skutečnosti k výměně os přibude i záměna osy t za osu ct).

„Tak, jak je to teď nakreslené, je to sice geometricky správně, ale z hlediska teorie relativity špatně,“ říkám po nakreslení grafů. „Proč je to špatně vymyslíme za chvíli.“

V dalším grafu spočítáme směrnici zakreslené světočáry tak, jak se v rámci teorie relativity počítá – tedy jako odklon příslušné úsečky (resp. tečny k obecné křivce) od osy ct. Se započtením principu kauzality dostáváme podmínku, že tento odklon nesmí být větší než 45 stupňů.

Poté diskutujeme budoucnost a minulost daného pozorovatele z hlediska vyslání a příjmu různých signálů.

Závěrečné poznámky k tomu, kde uplatnit teorii relativity, přidá Jirka Adam.

„Před studiem fyziky mikrosvěta tu mám pro vás úkol,“ usmívám se na účastníky. „Vybral jsem přibližně 30 jevů, které budeme později studovat, a po vás chci, abyste je zkusili seřadit chronologicky za sebou.“

Každý z účastníků semináře si vybere náhodně dvě kartičky, a pak se společně snaží všechny zobrazené jevy seřadit. Diskuse je plodná – účastníci využívají své znalosti i odhady. Když je hotovo, projdeme správné pořadí společně; některé jevy, k nimž se sice dostaneme později, jen v rychlosti připomeneme na přání účastníků.

Před koncem bloku stihneme udělat ještě úvod do mikrosvěta, který by měli žáci vstřebat, aby si nenesli ke studiu tohoto oboru fyziky nějaké špatné představy.

3. blok: Představy o složení hmoty, Thomson, Rutherford, nuklidy

Druhý sobotní blok začínáme vývojem názorů na stavbu hmoty. Postupně zmíním:

Jedním ze závěrů Millikanova experimentu bylo, že elektrický náboj je kvantován. Tento pojem se snažím vysvětlit příměrem k české hotovostní měně a poté vyjádřit i matematicky.

„Slovo kvantován si často berou do pusy různí rádoby odborníci, kteří nabízejí různé přístroje na čistění vzduchu, čištění vody, filtraci radioaktivní elektřiny z Temelína a podobné nesmysly. Zní to sice dostatečně tajemně, ale v této souvislosti, a v rámci celé fyziky mikrosvěta, lze slovo kvantován nahradit slovem nespojitý,“ dodávám na vysvětlenou.

Nyní už můžeme vysvětlit první model atomu – Thomsonův nebo též pudinkový model atomu.

Jiří Adam mě průběžně doplňuje drobnými detaily a zajímavými „zákulisními“ historkami.

Poté se pustíme do rozboru Rutherfordova experimentu, kterým se podařilo objevit jádro.

„Říkám, že Rutherford objevil jádro. Ale rozhodně to nebylo tak, že si řekl: ‚Nemám co dělat, objevím atomové jádro!‘,“ usmívám se. „Za každým objevem je řada zkoušení, řada slepých uliček i neúspěchů.“

Poměr rozměrů jádra a celého atomu ilustruji na korunové minci a kilometrovém okolí takto hypoteticky uvažovaného jádra atomu. Problematiku spojenou s Rutherfordem uzavřeme přínosy tohoto experimentu:

Před obědovou pauzou stihneme ještě projít složení jádra a jeho popis pomocí protonového čísla a hmotnostního čísla i následný rozbor pojmů nukleon, nuklid a izotop.

4. blok: Vazebná energie, kvantová hypotéza, fotoelektrický jev

Po polední pauze začínáme řešit vazebnou energii systému. Od jednoduché představy z běžného života se postupně dostáváme i k nestabilním systémům. Oba případy – tedy stabilní systém i nestabilní systém – rozkresluji schematickým obrázkem, komentuji a poté učiníme společný závěr. K tomu, abychom zformulovali vztah mezi vazebnou energií a hmotnostním schodkem, je potřeba Einsteinův vztah pro energii zmíněný v prvním bloku v pátek večer.

Poté začínáme kvantovou fyziku připomenutím proměřování záření absolutně černého tělesa.

„Měření bylo na konci 19. století provedeno, ale matematici nebyli schopni nalézt funkci, která by naměřená data aproximovala. Tedy – byla nalezena funkce, která byla ve shodě s měřením pro dlouhé vlnové délky, ale pro krátké vlnové délky předpovídala nesmysly. To správné odvození podal až Max Planck.“

Formuluju na tabuli příslušnou hypotézu a vysvětluji, že slovo hypotéza má historický původ. Za více jak sto let, které uplynuly od její formulace, byla mnoha experimenty dokázána.

„Přiznám se, že přesné historické souvislosti nevím,“ říkám a obracím se na Miladu Markovou, se kterou jsme před lety tento problém diskutovali. „Jestli Planck předpokládal nespojité šíření elektromagnetického záření, a to zohlednil ve svých rovnicích, nebo zda nejdříve napsal rovnice a až později on, nebo někdo jiný, dal použitému matematickému triku fyzikální význam, nevím. Ale pro výklad dalších jevů je to irelevantní.“ Milada i ostatní souhlasí.

Pro ilustraci hodnot energií fotonu spočítáme jeden příklad; získanou energii pak vyjádříme i v jednotkách typických pro mikrosvět: v elektronvoltech.

Vysvětlení fotoefektu projdeme, jak z hlediska klasické fyziky, které bylo pochopitelně nesprávné, tak z hlediska kvantové fyziky. Odvodíme tři možné scénáře pro hodnotu energie fotonu vůči výstupní práci elektronu z daného materiálu. Poté odvodím (jiným způsobem než kolega Jirka Adam dopoledne) vztah pro hybnost fotonu.

5. blok: Měření Planckovy konstanty, Comtonův jev, de Broglieho hypotéza

Během přestávky mezi bloky připravím pomůcky pro měření Planckovy konstanty.

„Bude to měření s mnou sestavenými LED, ale v minulých letech vycházelo celkem dobře,“ říkám a vysvětluji postup měření a kreslím na tabuli schéma obvodu: ke zdroj napětí přes dělič napětí budu připojovat jednotlivé LED a měřit proud, který jimi prochází, a napětí. Následně proměříme spektrum a z něj vyčteme vlnovou délku elektromagnetického záření, při kterém je intenzita světla maximální. Při měření využívám sondy od firmy Vernier.

Měření trvá několik desítek minut, ale na jeho závěru jsme odměněni. Pomocí software Mathematica naměřená data graficky vyhodnotíme a prohlédneme si zobrazené fyzikální závislosti. Směrnice v grafu závislosti energie fotonu na jeho frekvenci udává právě Planckovu konstantu. Nejen, že jsme naměřili správně řád konstanty, ale i mantisa čísla je velmi dobrá: 6,6.

„Netvrdím, že nemám radost,“ usmívám se, „ale je to náhoda – prahová napětí LED jsem odečítal dosti nepřesně.“

Poté vysvětluji Comptonův jev, kterým byla prokázána částicová povaha fotonu. Následuje krátký přehled, jak fyzikové nahlíželi na světlo: od Newtonovy korpuskulární teorie, přes vlnovou povahu spojenou se jmény Fresnel či Young až po Comptonův důkaz částicové povahy fotonu.

„Aby toho nebylo málo, tak francouzský fyzik Louis de Broglie začal považovat částice za vlnění,“ dodávám a formuluji jeho myšlenku. Poté někteří účastníci stráví několik minut řešením, jak vlastně číst příjmení tohoto fyzika.

Po výpočtu vlnové délky elektronu a protonu při dané velikosti rychlosti popíšu i metodu důkazu této na první pohled velmi smělé myšlenky.

„To, že byl důkaz proveden tři roky po publikaci teorie v době, kdy nebyl internet a sociální sítě, znamená, že fyzikové v renomovaných laboratořích řešili podobné problémy,“ dodávám na vysvětlenou.

Po diskusi na téma částicově-vlnové povahy objektů mikrosvěta zmíníme před koncem předposledního sobotního bloku, který jsme protáhli na dvě hodiny čistého času, ještě dvě použití kvantové fyziky v praxi:

6. blok: Kvantová fyzika v praxi, úvod do atomové fyziky

Poslední sobotní blok začneme dalšími praktickými aplikacemi kvantové fyziky. Na úvod připomenu experiment, který jsem účastníkům již ukazoval v rámci probírání vlastností polovodičů: činnost solárního panelu, na který střídavě svítím světlem ze žárovky stolní lampy a střídavě zakrývám deskami. Poté vysvětlíme princip činnosti:

Následně se přesuneme k atomové fyzice, kterou začnu vysvětlením rozdílu mezi atomovou fyzikou a jadernou fyzikou. Poté projdeme základní informace o spektru – typy spekter dle způsobu vzniku a dle tvaru.

Poté se loučíme a přejeme si po dlouhém dni dobrou noc.

Několik účastníků semináře si ještě na chodbě hraje s časovou osou – obdivují zajímavé shody (vydání Máchova Máje a publikování Lenzova zákona v témže roce, …) nebo přidávají další události na připravenou osu.

7. blok: Spektrum atomu vodíku

První nedělní blok začínáme ukázkami spekter různých zdrojů světla. Hlavní motivací pro to byla skutečnost, že v sobotu večer, kdy jsme o spektrech začali mluvit, nebylo možné ukázat spektrum Slunce.

Poté pokračujeme ke spektru atomu vodíku.

„Ukážu vám, jak tuhle problematiku zavádím já,“ říkám na úvod. „Po prvním roce, kdy jsem to učil, jsem přestal zavádět Rydbergerovu konstantu a začal jsem výpočet frekvencí vykládat s využitím zákona zachování energie.“

Šum v učebně dával najevo, že účastníci nesouhlasí, přesto moje vysvětlení vyslechli do konce. Když jsem je vyzval k dotazům, ozval se Jirka Adam s doplňujícím připomínkami a nabídkou, že příslušnou základní energii odvodí. Ukázal tedy začátek a na všeobecné přání jsem výpočet poté dokončil.

„Je to pěkné, ale do hodin fyziky asi ne,“ ozývá se z učebny fyziky. „Možná tak do hodin semináře, protože pro řadu žáků to bude těžko uchopitelné.“

„Ostatně, jak vám říkám pořád: co a v jaké podobě ze semináře využijete, záleží skutečně jen na vás,“ dodávám na další připomínky ohledně příliš obecných vztahů.

8. blok: Bohrův model atomu vodíku, gravitační vlny, kvantová čísla

Poslední blok semináře začneme Bohrovým modelem atomu. Sepíšu postuláty, na kterých je tento model atomu založen, a snažím se je vysvětlit. Doplňující informace k modelu dodává Jirka Adam.

„Koncepce Bohrova modelu atomu byla velmi záhy dokázána. Uvědomte si ale, že fyzikové ve fyzikálních laboratořích pracovali na podobných problémem. Takže stačilo být jen připraven. Mnohdy se stalo, že data z experimentu byla naměřena, ale nedařilo se je vysvětlit. A pak na druhém konci světa někdo přišel s teorií, o níž nevěděl, zda bude mít praktické dopady. Jakmile pak naměřená data pronikla k teoretikům nebo teoretický koncept k experimentátorům, pomyslný kruh se uzavřel,“ říkám a poté vysvětluji princip důkazu, který provedli pánové Franck a Hertz.

Určitou asociací si Jirka Adam vzpomněl důsledky teorie relativity – proměřování klesající periody pulsarů, za které byla udělena Nobelova cena a které bylo prvotním náznakem existence gravitačních vln. Ty byly přibližně za 20 let po udělení zmíněné Nobelovy ceny skutečně detekovány.

Na dotaz ze třídy, co to tedy ty gravitační vlny jsou a jak se detekují, začíná Jirka vysvětlovat a já hledám na počítači starší prezentaci, kterou jsem používal při přednášce na toto téma. Přednášku jsem tehdy přednesl několik měsíců po ohlášení objevu gravitačních vln.

Po krátkém, ale fyzikálně zajímavém odbočení, se vracíme zpátky k atomové fyzice a zavádíme kvantová čísla. Hypotézu, že danému hlavnímu kvantovému číslu odpovídají stavy v počtu rovném druhé mocnině hlavního kvantového čísla, dokážeme matematicky.

„Ale ve skutečnosti jich je dvakrát tolik, jak prokázaly experimenty,“ dodávám a dopisuju do přehledu kvantových čísel spin.

Do dvanácti hodiny zbývá asi osm minut, ve kterých nemá smysl pokrčovat dál. Proto seminář končíme a loučíme se.

A trošku statistiky na závěr: za celý víkend jsem šel 26krát z kabinetu fyziky ve druhém patře do přízemí ke vchodu otevřít účastníkům školu. Jedna cesta z přízemí do druhého patra čítá 64 schodů o výšce 12,5 cm; vyšel jsem tedy celkem 208 m a přitom vykonal práci 224 kJ.

Materiály ze semináře, které jsou účastníkům k dispozici, a odkazy:

Průběh semináře je zobrazen na fotografiích.

Autoři fotografií:

Jan Kratochvíl

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 24. 1. 2023