Geometrické důkazy algebraických vztahů

Když jsme začali se žáky třídy 19L SPŠST Panská v hodinách matematiky probírat základní algebraické vztahy, přinesl jsem sady nově vyrobených pomůcek.

„Rozdělte se do osmi skupin, já vám půjčím pracovní materiály a zkusíte si netradičním způsobem odvodit vztahy, které možná znáte a které rozhodně budeme potřebovat,“ říkám.

Žáci se rozdělují do skupin, rozdávám první sadu pomůcek a oni začínají pracovat.

„Vzhledem k tomu, že pomůcky mají konkrétní rozměry, nejedná se o obecný důkaz v pravém matematickém slova smyslu, ale někomu to může pomoct, pokud uvidí geometrický náhled příslušného algebraického vztahu,“ dodávám. Žáci mezitím ve skupinách skládají jednotlivé části pracovního listu k sobě. První důkaz byl poměrně snadný, tak přistupujeme k dalším.

Dva další algebraické vztahy jsou na geometrickou představu náročnější, ale i to zvládáme celkem dobře. Na závěr pak rozdávám sadu těles vytištěných na 3D tiskárně bývalým žákem školy.

„Dosud jsme se bavili o obsahu plochy jednotlivých částí skládačky,“ upozorňuji. „Nyní nastává změna, protože teď se budeme zajímat o …“ nechávám větu nedokončenou.

„… o objem,“ doplní někdo při pohledu na sadu těles.

„Přesně tak,“ souhlasím. „Pokuste se vyjádřit objem krychle, kterou jste, jak vidím, všichni už složili, pomocí délky její hrany i pomocí objemů jednotlivých těles,“ radím další postup.

Za několik minut mají všechny skupiny nejen složeno, ale i odvozen příslušný vztah.

Během jedné vyučovací hodiny (to, že jsme to se třídou 19L dělali ve dvou hodinách, ve kterých jsme se ale věnovali i jiné části látky, je podružné) si tak žáci na základě geometrické představy odvodili vztahy zapisované symbolicky ve tvaru:

Výsledné vztahy píšu na tabuli a dodávám k tomu i další, které jsme odvodili minulou hodinu při dělení dvou polynomů. Upozorním také na možnost, jak si jednoduše pamatovat vztahy, v nichž vystupuje rozdíl dvou výrazů, pokud známe vztahy pro součet podobných výrazů.

„Při současném pohledu některých institucí na vzdělávací systém by to někdo mohl považovat za zbytečné zatěžování vaší paměti,“ končím práci s pomůckami. „Ale pro nás to bude velmi užitečný nástroj pro další počítání!“ A dále dávám příklady s velmi úspěšnou Ester Ledeckou, která v únoru 2018 rozhodně nesjela dvakrát svah a rovnou nezískala dvě zlaté medaile - musela trénovat od mala. Stejně tak jako sportovci, které ve třídě 19L jsou, nemůžou jet rovnou na závody, ale musejí každý týden pravidelně trénovat.

Snad se budou vztahy žákům lépe pamatovat, až je začneme používat při řešení úloh!

Průběh práce na geometrických důkazech zobrazují fotografie.

Poděkování:

Marek Vavřínek (třída 15D SPŠST Panská) - vytištění těles na 3D tiskárně.

Autor fotografií:

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 28. 11. 2019