Exponenciální průběh

„Chcete se vrátit k experimentu, který jsem avizoval minulý školní rok a na který jste si měli sehnat pomůcky?“ ptám se s úsměvem na začátku září žáků třídy 19L SPŠST Panská na experiment, na který v rámci distanční výuky nedošlo.

Všichni kývají hlavou a předseda třídy slovně potvrdí, že ano.

„V tom případě s tím tedy počítejte, termín dám včas vědět,“ uzavírám toto téma.

Hodina, v níž jsme se k tématu vrátili, proběhla první říjnový den. Záměrně jsem přerušil řešení logaritmických rovnic, protože tuto hodinu jsem z technických důvodů chtěl vést v učebně fyziky. Žáci byli připravení a ve dvojicích měli připraveno sto korun.

„Super, jsem rád, že jste připravení,“ zahajuji hodinu. „Dnes věnujte hodně pozornosti tomu, co budu říkat, protože čas mám rozplánovaný skoro na sekundy.“

V úvodu hodiny připomenu fakt, který jsem v rámci matematiky už zmiňoval několikrát: exponenciální a logaritmické funkce jsou velmi důležité v praxi, protože řada fyzikálních závislostí mám právě tento průběh.

„Jednou z fyzikálních závislostí, kterou za chvíli zkusíme simulovat, je radioaktivní rozpad. Je známo, že za určitou dobu, která se nazývá poločas rozpadu daného materiálu, se v radioaktivním materiálu rozpadne statisticky polovina dosud nerozpadlých jader. Slovo statisticky tu má zásadní význam - nejsme schopni počítat jednotlivá jádra, která se rozpadnou, ale umíme ten proces popsat právě s využitím statistiky. Tedy plus nebo mínus milion či miliarda částic není podstatná. A celý proces rozpadu je proces náhodný, který není možné nijak ovlivnit změnou vnějších podmínek. A toho právě využijeme. Mince, které jste si přinesli, budou představovat nerozpadlá jádra. Pro další postup je nutné přiřadit každé straně mince jeden význam: nerozpadlé jádro a rozpadlé jádro. To je na vás, ale zvolené přiřazení pak už musíte dodržet po celou dobu experimentu. Náhodný proces rozpadu budeme simulovat tak, že mince zamícháte v nádobě, a hodíte na stůl. Rozpadlá jádra vyhodíte pryč, nerozpadlá spočítáte, zaznamenáte a pokračujete dále. Je to jasné?“

Nikdo neměl dotaz, takže jsem rozdal nádoby (vyrobené odstřižením části plastové láhve od mléka) a žáci začali experimentovat. Bylo to trošku hlučné, ale s tím jsem počítal.

Jakmile skupinka doházela (tj. rozpadla se jí všechna jádra), přišla mi nahlásit příslušné počty nerozpadlých jader v jednotlivých krocích experimentu. Data jsem psal do připraveného notebooku systému Mathematica a po získání dat od všech skupin jsem nechal systém data vyhodnotit.

„Co vám připomínají zobrazené grafy?“ zeptal jsem se.

„Exponenciální funkci,“ zazněla odpověď. A bylo vidět, že ti žáci, kteří jsou zvyklí o problému přemýšlet, byli opravdu mile překvapeni.

„Tím, že jste měli všichni na začátku stejný počet nerozpadlých jader, a díky faktu, že proces rozpadu resp. házení mincí je náhodný, můžu dát všechna data dohromady a v jednotlivých krocích data sečíst. Není to žádný podvod - to je standardní průběh statistického šetření. Navíc místo sto vstupních dat budu mít ze třinácti skupin třináct set dat, a to už by mělo být hodně dobré pro další analýzu,“ vysvětluji a posouvám zobrazení v notebooku tak, aby byl vidět poslední graf. Na něm je vidět 10 bodů, které jsou proloženy exponenciální funkcí.

„Co lepšího si přát než proloženou funkci, která prochází téměř přesně všemi naměřenými body!“ komentuji zobrazený výsledek a jsem opravdu šťastný, že to tak dobře vyšlo. Následným vyjádřením proložené exponenciální funkce se základem rovným Eulerovu číslu pomocí funkce se základem jedna polovina jsme shodu potvrdili.

„Pokud máte zájem, můžeme zkusit ještě jeden exponenciální průběh. Ten sice nebude asi tak markantní, ale o to určitě zajímavější,“ navrhuji.

Žáci třídy souhlasí, a proto přináším z kabinetu tašku se zakoupenými nealkoholickými pivy.

„Funguje to pochopitelně i s běžným pivem, ale jsme ve škole,“ usmívám se a rozdávám plechovky s pivem a nádoby, do nichž pak žáci pivo přelijí.

„Je nutné postupovat synchronně, podle mých pokynů,“ upozorňuji žáky. „Až řeknu, otevřete plechovku a vlijte pivo do nádoby. Snažte se lít tak, abyste vytvořili pěnu. Pak začnu hlásit 10sekundové intervaly a vy odměříte výšku pivní pěny. Máte ve skupině šest až osm rukou, tak se domluvte, kdo co bude dělat. Pravítka doufám máte - pokud ne, věnuji vám improvizovaná.“

Když je vše připraveno a členové skupin vědí, co mají dělat, začínáme. Žáci vlijí pivo do nádoby, já několik sekund počkám a pak začínám hlásit zmíněné 10sekundové intervaly. Ve třídě je ticho, je slyšet pouze moje hlášení „Teď!“ a občas cvaknutí fotoaparátu.

Po přibližně dvou minutách měření ukončíme a žáci opět diktují naměřené údaje. Systém Mathematica zobrazí grafy, které jsou sice poměrně ploché, ale přesto se jedná o exponenciální funkce.

„Zobrazovat součty za všechny skupiny nemá nyní smysl. Proč?“ ptám se na závěr.

„Nemáme všichni stejnou výšku pěny na začátku,“ odpovídají žáci.

Věřím, že tato netradiční měření pomohla žákům pochopit další parametry exponenciální funkce a její souvislost s logaritmy. Neméně zajímavý je i mírný úvod do statistiky, pomocí které jsme experimenty vyhodnocovali.

Průběh měření je zobrazen na fotografiích.

Autor fotografií:

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 2. 10. 2021