Matematika v 21M

Kosinová věta

Když jsem vyslovil a algebraicky dokázal kosinovou větu ve třídě 21M SPŠST Panská přinesl jsem do třídy pracovní listy s připravenými kartičkami, pomocí kterých bylo možné ukázat geometrickou interpretaci kosinové věty. Žáci se pustili do práce a začali podle připraveného postupu skládat jednotlivé kartičky k sobě. Poté zapsali obsah daného obrazce pomocí složených kartiček a celý obrazec přeskládali z dalších kartiček. A opět zapsali obsah.

„Nemusíte řešit obsahy trojúhelníků, ty v tuto chvíli podstatné nejsou, ale výzvou bude vymyslet výpočet obsahu rovnoběžníku, který tvoří část skládačky,“ říkám.

Po drobných nápovědách jsme došli k tomu, jak se počítá obsah rovnoběžníku na základě úhlu vyznačeného na jedné z kartiček. Kosinovou větu pak bylo možné již v napsaných vztazích „vidět“.

„Uvědomte si, že tohle není důkaz v pravém slova smyslu, jen ukázka. Důkaz byl proveden algebraickou cestou. Navíc díky nenulové tloušťce papíru nemusejí všechny kartičky přesně kopírovat vyznačený obrazec,“ upozorňuji.

Na závěr pak položím zákeřnou otázku: „Proč nemám připraven podobný důkaz s přeskládáním obrazců pro sinovou větu?“

Po chvíli tápání dospíváme k rozuzlení: v kosinové větě vystupují délky stran trojúhelníku umocněné na druhou, což odpovídá obsahu čtverce. V sinové větě takové členy nejsou, navíc je zapsána ve formě poměru.

Uvidíme, jak na základě dvojího důkazu důležité trigonometrické věty budou žáci schopni řešit početní úlohy …

Průběh skládání obrazce je zobrazen na fotografiích.

Autor fotografií:

Jaroslav Reichl