Studium exponenciálního poklesu

Když jsme se žáky třídy 21M SPŠST Panská probrali základní vlastnosti logaritmu, přistoupili jsme k aktivitě, kterou jsem žákům avizoval už na začátku září letošního školního roku. Tehdy jsme je vyzval, že pokud budou chtít časem zažít zajímavou aktivitu, tak ať střádají korunky.

„Na příslušnou hodinu bude potřeba sto korun,“ oznamuji. Záměrně jsem to řekl tímto způsobem, ale žáci pochopili, že mám na mysli sto kovových jednokorun, a ne papírovou bankovku.

Když nadešel čas, připomněl jsem žákům zadaný úkol, a poté jsme hodinu naplánovali na den, kdy budeme v učebně S6.

„Hodinu mám naplánovanou s přesností na sekundy,“ říkám na úvod, „tak doufám, že vše proběhne tak, jak chci a mám naplánováno.“

Žáci mají na lavicích připraveny mince a čekají, co bude.

„Měření bude probíhat tak, že zamícháte mince v plastové nádobě, vyhodíte je opatrně na stůl a zvolíte si, které budete dále počítat – zda mince otočené nahoru pannou nebo orlem. Ty vybrané spočítáte a dáte zpět do nádoby do dalšího losování, ty ostatní z dalšího měření odstraníte. A zapíšete si počet těch vybraných. Takto budete pokračovat, dokud vám nezůstane jedna nebo žádná mince s vybranou stranou,“ vysvětluji.

Žákům je vše jasné a pouštějí se do měření. Po chvíli přijde zástupce první dvojice nadiktovat naměřená data. Já je zadám do připraveného skriptu programu Mathematica a čekám na další skupinku s ukončeným měřením.

Když jsou data zadána, spustím script a sledujeme grafy, v nichž jsou zobrazeny počty žáky vybraných mincí v jednotlivých krocích experimentu:

Na grafech je patrný pokles. Graf, v němž jsou součty všech skupin, pak okomentuji.

„Začínali jsme celkem se 1300 mincemi – bylo 13 skupinek a každá měla na začátku 100 mincí. Po prvním hodu v rámci jednotlivých skupinách jste získali počty vybraných mincí 56, 54, 44 nebo 42. Už to samo o sobě je skoro poloviční hodnota. V rámci součtu se prvním hodem od poloviny – tj. od 650 mincí – nelišíme příliš. A kdybychom mincí měli víc, byl by tento údaj ještě přesnější. Dalším hodem vychází počet přibližně 325, tedy polovina z toho předcházejícího.“

To je z grafu patrné.

„Takto se chovají systémy, v nichž další krok závisí jen na počtu jedinců v minulém kroku. S troškou nadsázky bych mohl říct, že to jsou systémy, které nemají paměť,“ usmívám se. „V praxi to je tohle házení minci, byl to nárůst počtu pacientů s nemocí COVID-19 na začátku roku 2020, než byly aplikovány první plošné uzávěry, byl to pokles teploty vody, který jsem ukazoval, stejně je popsán i radioaktivní rozpad nějakého radioaktivního materiálu, jak poznáte později.

Také v matematice má tento experiment své místo. Za základě posledního grafu je zjevné, že jsme házeli s tzv. symetrickými mincemi, u nichž pravděpodobnosti, že padne panna nebo orel, jsou stejné.“

Žáci přikyvují, zdá se, že chápou, co se snažím sdělit.

„Jaký by měl být základ mocninné funkce, která je proložena těmi naměřenými daty, když s každým dalším hodem klesne počet na polovinu?“ ptám se.

„Jedna polovina,“ ozve se ze třídy.

„Fajn. Z technických důvodů jsem musel prokládat funkcí se základem rovným Eulerovu číslu, ale není problém si to přepočítat,“ usmívám se a píšu nedávno se žáky dokázaný matematický vztah. Koeficient v exponentu proložené funkce vyšel sice mírně odlišný, než měl, ale v rámci našich možností to bylo dobré.

„Druhým experimentem, který mám pro vás připraven, je experiment s těmito pomůckami,“ pokračuji poté a z tašky vyndávám na stůl šest plechovek nealkoholického piva. Žáci si na můj pokyn berou další plastové nádoby a plechovku piva do skupiny; skupiny jsou tentokráte větší.

„Teď to nesmíte uspěchat,“ varuji. „Je potřeba začít společně. Až řeknu, otevřete plechovku a relativně rychle vlijete pivo do připravené nádoby. Vzniklá pěna začne pomalu klesat a my budeme měřit její výšku. Máte ve skupině osm možná více rukou, tak si práci rozdělte tak, aby to bylo efektivní!“

Když jsou žáci připraveni, vydávám pokyn k otevření plechovek. Pak počkám několik sekund a začínám odpočítávat pravidelné desetisekundové intervaly, na konci kterých žáci odměří výšku pivní pěny. Tyto hodnoty mi poté opět nadiktují ke zpracování.

„Jak je patrné, exponenciální pokles není všude průkazný, ale v některých skupinkách je jasný,“ usmívám se. „Závisí pochopitelně na řadě parametrů, proč pokles nevykazuje jasný exponenciální pokles, ale principiálně to je přesně ten jev, který by takový pokles vykazovat měl.“

Sami žáci pak přijdou na to, jaké parametry ovlivňují pokles pivní pěny.

Právě v ten okamžik zvoní na konec hodin. Takže jsme obě měření stihli skvěle. Zbývá uklidit pomůcky a vrátit lavice a židle v učebně do původního stavu.

Snad si žáci na tento primitivní experiment vzpomenou, až podobnou závislost budou řešit v dalších technických předmětech nejen na naší škole.

Průběh experimentů je zobrazen na fotografiích.

Autor fotografií:

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 4. 5. 2023