Matematika v 24L

Exponenciální pokles

Když jsme se žáky třídy 24L SPŠST Panská probrali v matematice exponenciální a logaritmické funkce a spočítali řadu exponenciálních a logaritmických rovnic, rozhodl jsem se, že s nimi udělám jednu aktivitu, která by mohla být užitečná nejen pro matematiku. Žákům jsem s předstihem řekl, že by bylo fajn mít do dvojice sto korun, s nimiž budeme experimentovat.

„Dnešní hodinu mám rozplánovanou na sekundy, takže veškeré dotazy zodpovím až na konci nebo na začátku druhé hodiny,“ říkám v den konání aktivity na začátku dvouhodinovky matematiky. Skutečnost, že jsme aktivitu během jedné hodiny nestihli, je věc jiná …

„Experimentem, který si za chvíli zkusíte, lze poměrně dobře simulovat radioaktivní rozpad,“ říkám na úvod a ve stručnosti vysvětlím, že radioaktivní rozpad probíhá tak, že se za určitou dobou (zvanou poločas rozpadu) rozpadne statisticky polovina dosud nerozpadlých jader radioaktivního materiálu. Tento proces je náhodný a nelze ho nijak (u daného typu jader) ovlivnit.

„Přinesl jsem vám prázdné nádoby od mléka, ty použijte jako míchačku pro mince, které budou představovat dosud nerozpadlá jádra. Zvolíme-li např. stranu mince s orlem jako symbol rozpadlého jádra, tyto mince vyřadíme z dalšího experimentování. Mince, které padly nahoru znakem panny, představují zatím nerozpadlá jádra a ta se mohou dále rozpadat, tedy je znovu zamícháte. Píšete si v rámci skupinky počty těch mincí, které v jednotlivých hodech představují nerozpadlá jádra,“ shrnuji pravidla.

Pak začínají žáci házet mincemi a počítat příslušné typy mincí. Mezitím si ve scriptu v programu Mathematica píšu členy jednotlivých skupin.

„Jakmile vám zbydou dvě nebo tři mince, házení ukončete,“ dodávám do hluku mincí padajících na stoly.

„Máme experiment zopakovat?“ ptá se žák skupiny, která má hotovo.

„Ne,“ odpovídám. „Za chvíli to vysvětlím.“

Když mají naházeno všechny skupiny žáků, nadiktují mi své průběžné počty mincí reprezentující dosud nerozpadlá jádra a já shrnuji to, co zatím víme.

„Když se podíváte, tak vaše naměřená data skutečně odpovídají tomu, co jsem říkal o radioaktivním rozpadu: každým hodem klesne počet mincí reprezentující dosud nerozpadlá jádra zhruba na polovinu. Tím, že jste vytvořili 14 skupin, tak jsme vlastně posílili statistiku tohoto experimentu – místo sta mincí jsme vlastně házeli čtrnácti sty mincí. Takže jsme měření zpřesnili.“

Na grafech, které zobrazí příslušný script, je pak exponenciální závislost jasně patrná.

Během chvilky žáci vymyslí, že příslušná funkce, která data popisuje, je exponenciální funkce se základem jedna polovina.

„Matematikové a fyzikové ale mají rádi funkce se základem rovným Eulerovu číslu,“ usmívám se. Příslušný vztah jsem žákům přibližně před 14 dny odvodil, takže můžeme funkci přepsat. Když spočteme koeficient vystupující v exponentu této funkce a porovnáme ho s koeficientem vystupujícím ve funkci aproximující naměřená data, shoda je velmi dobrá.

„Měřili jste tedy poměrně dobře,“ chválím žáky.

Pro další experiment připravuji na stůl nealkoholická piva.

„Rozdělte se do sedmi skupin, v níž budete mít šest nebo osm rukou, takže vše stihnete zpracovávat,“ říkám před dalším experimentem.

„Až řeknu, vlijete pivo relativně prudce do nádoby, aby se vytvořila pěna. Pak budete měřit v desetisekundových intervalech výšku pěny nad hladinou piva a tento údaj budete zaznamenávat.“

Nechávám žákům chvíli čas, aby se v rámci skupiny domluvili, kdo bude co dělat. Pak celé měření odstartuji a žáci začínají měřit. Ve třídě je slyšet tentokráte jen hlášení naměřené výšky a mé hvízdnutí jako pokyn k měření. Po deseti měření aktivitu ukončíme, žáci nadiktují naměřená data a jiný script naměřená data vyhodnotí.

Některé zobrazené grafy na první pohled exponenciální funkci nepřipomínají, i když jsem exponenciální funkce těmito daty proložil.

„To, že nevyšly všude jasné exponenciální funkce, nevadí. Když byste tohle měření chtěli dělat profesionálně, tak byste museli mít lepší nádoby, definovaným způsobem vymyté, jasně definovaný způsob měření výšky pivní pěny, …“, říkám na závěr.

Snad uvedené aktivity přispějí k lepšímu pochopení exponenciálních průběhů různých, nejen fyzikálních, veličin.

Průběh aktivity je zobrazen na fotografiích.

Autor fotografií:

Jaroslav Reichl