Heuréka - 2. rozšiřující seminář (matematika a její aplikace - integrály a diferenciální rovnice)

O víkendu 8. - 10. 11. 2019 se konal v prostorách SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské druhý seminář nadstandardního běhu projektu Heuréka pro střední školy, který podporuje KDF MFF UK Praha a Elixír do škol.

V pátek v půl osmé večer se sešlo v učebně fyziky 10 účastníků, v sobotu pak dorazili další 2 účastníci.

1. blok: Definice neurčitého integrálu, metoda per partes

Po přivítání a krátké diskusi, čím se vlastně účastníci chtějí na tomto semináři zabývat, vyplývá téma setkání: integrály a jejich využití v matematice a fyzice.

„Dobře,“ souhlasím, protože jsem podobné téma víceméně očekával, a začínám s výkladem.

„Budu vykládat a zavádět jednotlivé pojmy tak, jak je zavádím se svými žáky,“ říkám na vysvětlenou a účastníci nadšeně přikyvují.

Začneme tedy definicí primitivní funkce, kterou okomentuji, a ukážu i jedno odvození, jak přejít od definice primitivní funkce, která je ve formě derivace hledané funkce, k vyjádření hledané funkce pomocí integrálu zadané funkce.

„Toto odvození není z hlediska matematiky zcela v pořádku, ale pro názornost a pro získání vhledu do dané situace zejména pro využití v aplikačních předmětech, je velmi vhodné,“ upozorňuji.

Pak se pustíme do výpočtu několika úloh zaměřených na hledání „tabulkových“ integrálů. Tyto výpočty okořeníme i různými matematickými úpravami a upozorňováním na časté chyby nebo na místa, kde mohou být případně problémy.

Před koncem prvního bloku odvodím vztah pro integrování metodou per partes a spočítáme dva příklady.

„Mám připraveny dvě lahůdky, ale ty si necháme na zítra,“ usmívám se přesně v devět hodin, kdy končí první blok. Některé účastnice jsou překvapené, že už uběhlo 90 minut.

2. blok: Per partes a substituce v neurčitém integrálu

V sobotu ráno pokračujeme výpočtem tří úloh zaměřených na per partes, ovšem s tím, že pokaždé bylo zapotřebí úlohu upravit i jiným způsobem než jen metodou per partes.

„Substituční metodu napíšu formou věty a až potom vysvětlím,“ říkám před další integrační metodou. „Stejně bych musel psát požadavky na jednotlivé funkce, tak je sepíšu rovnou ve formě věty!“

Píšu větu na tabuli, současně čtu a na závěr přečtu ještě jednou.

„Už vím, jak se cítí naši žáci!“

„Opisuju hieroglyfy!“

Podobné hlášky se ozývají ze třídy, ale snad jsou míněny napůl žertem.

Když mají všichni opsáno, snažím se větu vysvětlit. Hlavně zdůrazňuji, že vyplývá z derivace složené funkce, což by měl být základ pro pochopení této věty o substituci.

„Řešení úloh můžeme dělat dvojím způsobem,“ usmívám se před řešením první úlohy. „Buď metodou, která je žákům bližší, ale v níž se občas objeví některé matematické nepřesnosti, nebo metodou matfyzáckou, která ovšem vyžaduje větší vhled do derivací.“

Na první úloze ukazuji pochopitelně obě metody. Účastníkům semináře se líbí obě, takže dále je různě střídáme.

První sobotní blok končíme výpočtem integrálu ze sinu dvou x. A ukazuji tři různé postupy, které vedou ke třem různým výsledkům.

3. blok: Dokončení úlohy se sinem, rozklad na parciální zlomky, určitý integrál

Na začátku dalšího bloku dokončujeme úlohu s integrováním sinu dvou x a ověřujeme, že všechny námi získané výsledky se navzájem liší o konstantu, což je v souladu s definicí primitivní funkce.

Pak pokračuji další integrační metodou, kterou je rozklad na parciální zlomky. Účastníci semináře tuto metodu chtěli probrat, tak se jí začínám věnovat.

„Nebudu to psát jako matematickou větu, protože to jednak nemám připravené, jednak je to šílené psaní,“ říkám. „Řeknu základní pravidla této metody a ukážeme si vše na řešení úloh.“

Při řešení první úlohy jsou někteří účastníci překvapeni její komplexností. A já vím, že přijde ještě poslední lahůdka, ve které si teprve započítáme. Když pak tuto úlohu řešíme (rozklad na parciální zlomky, rychlá substituce z hlavy, integrál vedoucí na arkustangens, doplnění na druhou mocninu kvadratického dvojčlenu, …) jsou všichni v šoku, ale libují si, že se jim to líbí.

Když dopočítáme, přejdeme k určitému integrálu. Ten motivuji hledáním obsahu plochy pod grafem funkce, k čemuž ukazuji i vlastní aplet napsaný v software Mathematica.

Před napsáním definice upozorňuji na nutnost rozšířit pojem primitivní funkce i na uzavřený interval.

„Pokud to budete ukazovat někomu, kdo bude chtít integrály jen používat k výpočtu, není to asi nutné detailně pitvat. Pokud ale půjde o žáky, kteří s matematikou přijdou do kontaktu detailněji, je dobré tuto problematiku zmínit a vyjasnit,“ sděluji svůj názor.

Krátce před dvanáctou končíme dopolední blok a odcházíme na oběd.

4. blok: Obsah plochy a funkční hodnoty primitivní funkce, vlastnosti a výpočet určitého integrálu, aplikace

Po odpolední pauze pokračujeme v určitém integrálu. Na podnět položený před obědem vysvětluji, jak souvisí obsah plochy s funkčními hodnotami primitivní funkce. Snad se to podařilo objasnit.

Poté sepisuji vlastnosti určitého integrálu a popisuji jednotlivé metody výpočtu.

„Substituce je stejná jako v neurčitém integrálu, jen je třeba dávat pozor na meze,“ varuji účastníky semináře. „U metody per partes je nutné během výpočtu udržet meze u všech členů a integrálů, které se ve výpočtu vyskytují.“

Když spočítáme několik úloh na substituci a per partes, přecházíme k aplikacím integrálu. Jako první počítáme několik ploch pod grafem funkce. Plochu pod jedním „obloukem“ funkce sinus x jsem měl v plánu spočítat. Pak mě napadlo spočítat plochu mezi grafy funkcí sinus x a sinus dvou x - a plocha vyšla stejná. Mohl jsem si to v hlavě odvodit předem …

„To nevadí, to je zajímavé,“ usmívají se účastníci semináře.

„Už to slyším ve škole,“ ozve se někdo. „>A proč nám to říkáte?< >Protože mi to přijde zajímavé!< >To možná vám!<“

Před koncem prvního odpoledního bloku spočítáme plochu omezenou dvěma parabolami.

5. blok: Obsah plochy, objem rotačního tělesa, délka křivky

Po přestávce pokračujeme výpočtem obsahu plochy s fyzikální tématikou a přecházíme k výpočtu objemů rotačních těles.

„Odvození vztahu je velmi analogické jako odvození plochy,“ říkám na úvod. „Obrázek bude jiný, veličiny budou jiné, ale vztahy a matematické vlastnosti jsou stejné.“ Proto odvození napíšu relativně rychle a spočítáme několik úloh. Včetně ukázky odvození vztahu pro výpočet objemu rotačního kuželu.

„Můžeme se případně podívat i na délku křivky,“ navrhuji poté. „Ale je velmi omezená množina křivek, jejichž délku lze spočítat, protože vztah, kterým je délka křivky popsaná, není právě nejjednodušší,“ dodávám.

„Chceme to vidět!“ zaznívá ze třídy.

„Dobře,“ souhlasím a odvození udělám podobně rychle jako u objemu rotačního tělesa, neboť i zde se opakují stejné úvahy.

Když pak počítáme další úlohy, nevyhneme se metodě per partes ani substituci, nicméně účastníci jsou spokojeni.

„Já jsem za to ráda, protože jednou jsem dostala takový dotaz od bývalé žákyně, tak teď už vím, jak na to,“ chválí si výpočet Eva Kratochvílová.

6. blok: Střední a efektivní hodnota elektrického proudu, Fourierova transformace

Poslední sobotní blok začínáme fyzikální úlohou zaměřenou na výpočet střední a efektivní hodnoty trojúhelníkového průběhu elektrického proudu. Ač je sobota večer, výpočet jde celkem svižně a zdá se, že všichni vnímají, co píší.

„Chcete ještě odvodit Fourierovu transformaci?“ ptám se po skončení řešení dané úlohy.

„Jasně, sem s tím!“ okamžitě rozhoduje Eva Dvořáková. Ostatní se k ní přidávají.

Začínám tedy od začátku:

Když odvodíme koeficienty obecně, nabízím výpočet konkrétních hodnot právě obecně odvozených koeficientů u konkrétního průběhu. Bez výraznějších problémů zvládneme výpočet tří typů integrálů a závěrečný výpis řady.

Na závěr pak sedám k počítači v software Mathematica píšu krátký kód demonstrující právě vypočtené koeficienty. Úleva a štěstí na tvářích účastníků semináře jsou značné: vše vyšlo tak, jak mělo, a vykreslený průběh funkce odpovídá tomu, co jsme očekávali.

Tím končí dnešní integrály nabitý den! Pokračovat budeme ráno diferenciálními rovnicemi.

7. blok: Diferenciální rovnice

Nedělní bloky věnujeme diferenciálním rovnicím. Na úvod upozorňuji, že neexistuje jednoznačný postup na řešení všech diferenciálních rovnic. Existují návody na řešení konkrétního typu rovnice, ale také existují rovnice, které nelze řešit analyticky (tj. s tužkou a papírem).

„Na úvod udělám úlohu, která s diferenciálními rovnicemi zdánlivě nesouvisí, ale je pro ně podstatná,“ pokračuji poté a zadávám řešení soustavy dvou rovnic se třemi neznámými. Na nalezeném řešení následně vysvětluji pojmy:

„Další postup může být matematický s definicemi, nebo fyzikální s ukázkou konkrétních úloh a problémů,“ nabízím. „Fyzikální úlohy mají tu výhodu, že nemusíme ověřovat vlastnosti funkcí jako je spojitost či existence derivací. Fyzikální závislosti obě vlastnosti splňují.“

„Raději ten fyzikální,“ volí účastníci semináře.

I přesto začínám dvěma matematickými úlohami, které jsme řešili už v pátek. Na nich ukazuji, že jsme diferenciální rovnice vlastně už řešili a že už umíme vyřešit i diferenciální rovnici s počátečními podmínkami.

Následně řešíme fyzikální úlohy spojené s pohybem:

„Parašutista je šílený,“ ozve se před zadáním úlohy ze třídy.

„Ano, je technicky pracný,“ uznávám. Přesto ho za necelých 20 minut stihneme vyřešit.

8. blok: Diferenciální rovnice

Poslední blok zahajuji ukázkou závislosti velikosti rychlosti na čase pro padajícího parašutistu vypočtenou před přestávkou. Díky možnosti změn parametrů pohybu v notebooku programu Mathematica zkoušíme různé varianty součinitel odporu, velikosti tělesa, …

„A to není vše,“ usmívám se a za velikost počáteční rychlosti dosazuju nulu. Místo klesající exponenciální funkce se objevuje funkce rostoucí. „Čemu to odpovídá?“

Po chvíli nejistoty slyším správnou odpověď: jedná se o první fázi letu parašutisty, během které velikost rychlosti jeho pohybu roste.

Pak se vrhneme na tlumené kmitání. Napíšu zadání, rozebereme úlohu fyzikálně a napíšeme matematickou podobu druhého Newtonova zákona pro tento případ. Pak následuje matematické řešení úlohy:

„Chápu, že jste po víkendu stráveném s integrály a diferenciálními rovnicemi dost vorvaní,“ uzavírám seminář.

„Nejsme! My jsme rády! Jsme nadšené! Bylo to super!“ volají dámy ve třídě. Jirka Krásný, souhlasně pokyvuje hlavou.

Během pár minut uklidíme učebny, ve kterých jsme přes víkend byli, a rozjíždíme se do svých domovů.

Materiály ze semináře, které jsou účastníkům k dispozici, a odkazy:

Pracovní nasazení během druhého nadstavbového semináře přibližuje fotografie.

Autor fotografie:

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 10. 11. 2019