Heuréka - 3. rozšiřující seminář (diferenciální rovnice a úlohy fyzikální olympiády)

O víkendu 24. - 26. 1. 2020 se konal v prostorách SPŠST Panská v budově v Malé Štupartské třetí seminář nadstandardního běhu projektu Heuréka pro střední školy, který podporují KDF MFF UK Praha a Elixír do škol.

V pátek v půl osmé večer se sešlo v učebně fyziky 13 účastníků, v sobotu pak dorazili další 2 účastníci.

1. blok: Diferenciální rovnice - buzený sériový RLC obvod a nabíjení kondenzátoru

Po přivítání účastníků semináře navrhuji program na následujících osm bloků semináře: „Dokončíme několik typů diferenciálních rovnic a pak přejdeme, jak jste si přáli, k úlohám fyzikální olympiády. Tedy pokud se nám to zase nerozklíží a neuhneme někam jinam,“ usmívám se.

Účastníci semináře přikyvují na souhlas.

„A jakou máte představu o těch úlohách fyzikální olympiády? Že vy budete nadhazovat a já ze sebe budu dělat vola, jak mi to nejde?“

„Neee, to ne!“ ozývá se ze třídy.

„Spíš takové typické úlohy projít a podívat se na ně, co by se mohlo hodit, to, co se často opakuje, a podobně,“ navrhuje Věrka Krůsová.

„Dobře, tak já pak vám něco předložím a uvidíme,“ usmívám se a začínám psát na tabuli zadání první diferenciální rovnice.

Hledáme časovou závislost elektrického náboje, který prochází sériovým RLC obvodem připojeným ke zdroji střídavého napětí. Sestavenou rovnici je nutné řešit ve dvou krocích, přičemž ten první kopíruje řešení tlumeného mechanického harmonického oscilátoru, který jsme řešili minule. Formálně je rovnice úplně stejná, fyzikální závislosti jsou pouze popsané jinými parametry a proměnnými. Proto při řešení postupujeme rychleji než minule.

Řešení druhého kroku rovnice (tj. řešení diferenciální rovnice s nenulovou pravou stranou) je technicky náročnější, ale během několika minut jej dovedeme ke zdárnému konci. Na závěr pak komentuji a připomínám pojmy obecné řešení homogenní rovnice a partikulární řešení nehomogenní rovnice, které jsme na minulém semináři vysvětlili při řešení soustavy lineárních rovnic.

Jako druhý příklad spočítáme časový průběh elektrického napětí měřeného na kondenzátoru při jeho nabíjení a časový průběh elektrického proudu, který přitom teče obvodem. Nalezené funkční závislosti pak zobrazuji v předem připraveném notebooku programu Mathematica.

Krátce před devátou hodinou večer končíme a přejeme si příjemný zbytek večera.

2. blok: Diferenciální rovnice - proud procházející cívkou, pád tělesa Zemí, radioaktivní rozpad

První sobotní blok začínáme řešením rovnice, která popisuje cívku připojenou ke zdroji stejnosměrného napětí.

„Budeme chtít spočítat průběh elektrického proudu v závislosti na čase, tedy to, co většinou ve fyzice okomentujeme slovně, počkáme půl minuty a řešíme obvod už s ustáleným elektrickým proudem,“ komentuji souvislost s běžně probíranými jevy.

Nakreslíme obvod, sestavíme rovnici pro elektrické napětí a začneme řešit.

„Cíleně vyřeším rovnici pomocí metody variace konstanty, abych ukázal i tuto metodu. Zapsaná rovnice by šla vyřešit jednodušeji pomocí separace proměnných, ale chci ukázat novou metodu,“ vysvětluji a začínáme rovnici řešit.

Po vyřešení ukáži animaci v programu Mathematice, ve které je vypočtený průběh zobrazen v grafu. Nalezené řešení okomentujeme a fyzikálně ověříme, že odpovídá realitě.

„Další úlohu jistě znáte od Ireny Dvořákové,“ usmívám se a kreslím zadání úlohy s tunelem provrtaným skrz Zemi. „S Irenou jsme tam lili vodu, nechávali jezdit lidi na lodičce a tak. My to povýšíme trošku výše, tunel provrtáme skrz jádro Země a necháme jím padat třeba kámen,“ dodávám a kreslím na tabuli.

„Jen taková drobnost - je to pochopitelně jedno, ale z didaktických důvodů to kreslím tak, aby kámen padal opravdu dolů, tedy shora dolů i na tabuli. Ale můžete to pochopitelně nakreslit libovolně,“ dodávám na vysvětlenou.

Při řešení narazíme na několik drobností, které v průběhu řešení dořešíme a snad i ujasníme. Problém závislosti gravitační síly pouze na hmotnosti materiálu, který se nachází v kouli pod aktuální polohou kamene, a ne v celé Zemi, komentuje Stáňa Tomšová.

Na závěr ještě ukážu odvození rovnice popisující radioaktivní rozpad částic. Průběh odvození i jeho tvar, včetně možnosti, jak jinak zapsat týž zákon, okomentujeme.

3. blok: Diferenciální rovnice - pohyb těles kolem Země, úloha fyzikální olympiády

Po přestávce ještě chvíli pokračujeme diskusi na pro učitele tolik depresivní téma: žáci vyžadující speciální potřeby. Z postesků všech přítomných je zřejmé, že se s tím perou všichni učitelé na všech školách.

„My musíme podle zákona žákovi pomoct, vyjít mu vstříc, a přitom nesmíme vědět, co mu je!“ shrnuju. „Ani jako třídní učitel to nesmím vědět!“

Ostatní se usmívají nad absurditou zákona a nad tím, že svých problémů, které ve skutečnosti vůbec neexistují, většina žáků zneužívá.

„Znám málo těch, kteří to opravdu potřebují,“ přikládám polínka do ohně. „A z těch ostatních se tak desetina se chová zodpovědně, pro ostatní je to důvod, proč nechodit legálně do školy!“

Když jsme si všichni tak navzájem postěžovali na nedomyšlenost zákonů a neschopnost někoho kompetentního tento neutěšený stav školství zrušit, přejdeme zpět k našemu tématu.

„Poslední rovnici nebudu řešit do konce, ale myslím, že může být příjemným rozšířením při probírání pohybů v centrálním gravitačním poli,“ říkám na úvod. „A nemusí to být jen v okolí Země,“ dodávám.

Postupně rozkreslíme na tabuli situaci, v níž se kolem Země pohybuje těleso uvedené do pohybu obecnou rychlostí. Napíšeme příslušné rovnice a zjistíme, že vektorová diferenciální rovnice se rozpadla na soustavu dvou skalárních diferenciálních rovnic.

„To řešit nebudeme, nebojte, ale ukážu vám výsledek numerického řešení v programu Mathematica,“ a ukazuji tvar trajektorie pro různé volby počáteční rychlosti a vzdálenosti bodu od povrchu Země.

Před koncem tohoto bloku spočítáme ještě jednu úlohu z fyzikální olympiády.

4. blok: Potenciální energie v centrálním gravitačním poli, dvě úlohy fyzikální olympiády

Po obědě začínáme s potenciální energií v centrálním gravitačním poli.

„Ale my jsme chtěly parabolickou rychlost,“ ozvou se dámy ze třídy.

„Ano, já vím,“ usmívám se. „Ale chtěly jste jí odvodit, ne? A k tomu potřebujeme odvodit potenciální energii v centrálním gravitačním poli.“

Začínám tedy s odvozením. Částečně inspirován fyzikálními texty a částečně s dodanou vlastní invencí odvozuji příslušný matematický vztah. Využívám k tomu integrální počet.

„Lze to udělat i bez integrálního počtu, ale za cenu toho, že použijeme geometrický průměr,“ říkám a na přání účastníků ve třídě odvozuji totéž i druhou cestou.

Následně vedená diskuse se snaží ujasnit, jak žáky přesvědčit, že použijeme právě geometrický průměr.

„Jednak můžete argumentovat tím, že závislost velikosti síly na vzdálenosti od středu gravitaci budícího tělesa není lineární a že nějaký průměr prostě potřebujeme pro další úvahu. A nebo, pokud bych byl hodně nedidaktický, tak to tak volím proto, aby to vyšlo. Vzpomeňme všichni na důkazové věty z vysokoškolské matematické analýzy. Proč se volí při důkazu jednou za epsilon delta půl a jindy delta čtvrt? No aby to pěkně vyšlo a ušetřil jsem si argumentaci na konci důkazu.“

Účastníci se usmívají a vzpomínají na vysokoškolská léta.

Pak vyřešíme dvě úlohy z fyzikální olympiády, které z těch mnou předem připravených zatím vybíráme náhodně. Zejména ta druhá byla náročnější jak matematicky, tak i některými fyzikálními úvahami.

5. blok: Úlohy fyzikální olympiády

Další blok věnujeme řešení dalších úloh z fyzikální olympiády. Začneme úlohou ze Slovenské olympiády, kterou nedávno zveřejnil Československý časopis pro fyziku 3/2019 (pouze ukázka čísla, není celé) v rámci připomínky přistání lidské sondy na Měsíci. Opět trošku technického počítání, ale fyzikálně snad srozumitelné.

„A jak je to s tím urychlováním pomocí planet?“ ptá se Lubica Letanovská po vyřešení úlohy zaměřené na urychlení pohybu rakety, která se původně nacházela na orbitě tvaru kružnice kolem Země.

„Myslíš gravitační prak?“ ptám se.

Po souhlasné odpovědi načrtnu kusý obrázek s vysvětlením: „Tohle z hlavy nedám, na to bych se musel připravit. Rovnou to počítat nebudu, protože se tam někde zamotám ve znační a úvahách. Omlouvám se. Princip je jasný: urychlení je způsobené gravitační silou většinou Jupitera. Ale závisí na vhodném úhlu, pod kterým družice k Jupiteru letí.“

„Ne, výpočet nechceme, tohle mi stačí.“

„Můžete kouknout na stránky Tomáše France, který se gravitačním polem zabýval v rámci svého doktorandského studia,“ říkám.

Následuje příklad z mechaniky tuhého tělesa, při jehož řešení jsme museli definovat úhlové zrychlení a jeho souvislost s momentem setrvačnosti.

6. blok: Úlohy fyzikální olympiády

Poslední blok sobotního programu jsme pokračovali v řešení úloh fyzikální olympiády. Jedna z nich se ukázala poměrně náročná, takže její řešení musí počkat do druhého dne.

Během řešení úlohy věnované zapojování rezistorů jsme narazili na nutnost použít transfiguraci, která byla pro některé účastníky neznámá. Prozradil jsem tedy vztahy pro výpočet odporu náhradních rezistorů převádějících zapojení rezistorů do trojúhelníka na zapojení do hvězdy tak, aby výsledný odpor mezi danými uzly zůstal stejný. Případnému odvození se můžeme věnovat někdy jindy.

Na konci bloku ještě diskutujeme nad pokračováním těchto rozšiřujících seminářů a našli jsme společný termín pro konání semináře na podzim.

7. blok: Úlohy fyzikální olympiády

V neděli ráno poté, co vyjasníme termíny setkání na podzim letošního roku a náměty na tento rozšiřující seminář, začneme řešit další úlohy z fyzikální olympiády.

Jako první se vrátím k úloze s precesí setrvačníku, do které jsem se v sobotu večer lehce zamotal. Předložené řešení účastníci schválí, ale je zjevné, že problematika setrvačníků není šálek čaje nikoho v učebně fyziky.

Poté pokračujeme k řešení úlohy zaměřené na výpočet odporů zhruba dvaceti rezistorů spojených do mřížky. Začínáme řešit postupným překreslením nejdříve z hlediska geometrie vedení vodičů, pak z hlediska fyzikálně provedené transfigurace zapojení do trojúhelníka do zapojení do hvězdy. Poté spočítáme odpory jednotlivých větví obvodu a vrhneme se na výpočet elektrických potenciálů v jednotlivých mřížových bodech. Na závěr, už jako pomyslnou třešničku na dortu, spočítáme elektrické proudy tekoucí jednotlivými větvemi obvodu.

„Doufám, že už chápete, proč jsem nechtěl jako první úlohu z elektřiny řešit včera večer právě tuhle, ale vmanévroval jsem vás do té úlohy s postupně se přepalovanými rezistory,“ usmívám se, když řešení dokončíme.

„Ano, chápeme,“ shodují se účastníci.

Pak začneme řešit úlohu zaměřenou na chod světla dvěma k sobě přilepenými optickými hranoly a následně spojnou čočkou. Před přestávkou vyřešíme první třetinu úlohy.

8. blok: Úlohy fyzikální olympiády

Na začátku posledního bloku dokončujeme řešení úlohy z optiky. V této úloze je nutné kromě přesného řešení vyplývajícího ze Snellova zákona uvést i řešení přibližné založené na lineárním průběhu funkce sinus a tangens pro malé úhly.

„Je možné nějak vysvětlit, že ty přibližné výpočty vyšly ve všech případech méně, než ty přesné?“ ptá se po vyřešení úlohy Stáňa Tomšová.

Promítnu si v hlavě grafy uvažovaných funkcí a uvědomím si, jak budou asi vypadat vůči ose prvního a třetího kvadrantu, ale kreslit na tabuli se mi to nechce. Usedám proto k počítači a v programu Mathematica vykresluji všechny tři uvažované křivky. Poté vykreslím i křivky dané rozdíly goniometrických funkcí od uvažované lineární funkce. Ze zobrazených grafů je patrné, že námi získané výsledky jsou v pořádku.

„To je úžasný, jak můžeš hned použít tu Mathematicu,“ usmívá se Ivana Šafránková.

„No snad nás to tolik nezdrželo,“ usmívám se.

„To vůbec - jen, že jsi si v jejím používání tak jistý!“

„Tak, co tam máte dál?“ parafrázuji slavný citát z ještě slavnějšího filmu.

„Zaujalo nás to štěpení uranu,“ vybírají kolegyně z Plzně.

„Super! Nic lepšího jste si vybrat nemohli,“ reaguji. „Není to tak obtížné, ale ty hmotnosti částic na pět desetinných míst opravdu psát na tabuli nebudu! Ale pokud učíte radioaktivní rozpad, je to velmi pěkná úloha!“

„No právě,“ usmívají se kolegyně.

Postupně tedy vyřešíme rozpad uranu. Jsem rád, že při řešení úlohy se jedna kolegyně přiznala, že poprvé viděla rozpadový zákon napsaný pomocí mocniny dvojky.

„To je fakt super, to se mi líbí,“ usmívá se. „Odvodila jsem si hned, že to přejde na ten vztah se základem daným Eulerovým číslem. Fakt se mi to líbí!“

Touto úlohou končíme. Další už začínat nechceme, protože bychom jí nemuseli stihnout dořešit. Proto se přibližně patnáct minut před dvanáctou hodinou loučíme.

Soudě podle reakcí účastníků setkání byli všichni s náplní víkendového semináře spokojení.

Materiály ze semináře, které jsou účastníkům k dispozici, a odkazy:

© Jaroslav Reichl, 26. 1. 2020